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sont imaginaires; car elles renferment v/— 3, et, d'après l'hypothèse, m — n est léel et différent de zéro.

Quant au signe de la racine réelle, le principe établi (312) sur les équations de degré impair prouve que cette racine est positive si q est négatif, et négative si q est positif; ce dont il est d'ailleurs facile de se rendre compte par la discussion de la première valeur de x ci-dessus,

Dans ce nouveau cas, les racines de la réduite se réduisant l'une et l'autre

à — -) les valeurs de m et de n sont réelles et égales chacune à v / — i ce qui donne, pour la première valeur de x,

(*) Les conditions de réalité ou d'imaginarité des racines de l'équation du troisième degré ont été déjà discutées, indépendamiuent de sa résolution, au moyen du théorème de M. Sturm. {Foir le n° 355.)

DISCUSSION DE l'ÉQUATION DU TR0ISIÈ.1IE DEGRÉ. 559

Pour les deux autres, comme on a

en résulte

m — /i- = o, et = rii

Ainsi ces valeurs sont égales et se réduisent chacune à

c'est-à-dire que leurs valeurs numériques sont chacune moitié de la première.

Donc, en supposant le dernier terme q positif, l'équation (i) a une racine réelle négative — i iV- et deux racines positives égales \/ ~-

Le contraire a lieu quand le dernier terme est négatif; c'est-à-dire qu'elle a une seule racine positive et deux racines négatives égales.