o. Cas irréductible

Cette condition, qui exige nécessairement que p soit négatif, donne pour la réduite deux racines imaginaires ; et la première valeur de x se présente sous la forme

X = m-{- n = vM -1- N \/—i ■+- VM — N \/^-i.

D'après cela il semble au premier abord que cette valeur de x doive être imaginaire aussi bien que les deux autres, qui renferment déjà dans leur expression le symbole v' — i. L'équation (i) aurait donc ses trois racines imaginaires, ce qui serait en contradiction avec le premier théorème du n° 312.

Mais on peut démontrer que, dans les expressions des trois racines, les imaginaires s'entre-détruisent, et que les trois racines sont réelles.

En effet, si, en admettant (174) l'exactitude de la formule du binôme dans le cas de l'exposant fractionnaire, on pose

m = - dans {a -+- h^ — x)'" (380),

on trouve

VM-t-Ny/-! =P + Qv/-i, Î/M - N \/=^ = P - Q v/~,

56o CHAPITRE IX.

ce qui donne

m -h n = y/M -f- N /— ï -t- V M — N y/— i = aP ; ainsi la première valeur de x est réelle et se réduit à

Quant aux deux autres, comme on a

m -\- n = 2?, m — n — 2Q \l — 3, on en obtient, substituant dans l'expression

x = Pd=0/:il"\/^^ = -PqzQv/3 (170).

Ainsi les trois valeurs de x sont réelles.

Le dernier cas que nous venons d'examiner, et sur lequel les analystes se sont beaucoup exercés, porte le nom de cas irréductible, parce que, malgré la réalité bien prouvée des trois racines, les formules obtenues précédemment ne peuvent être d'aucune utilité pour leur détermination. En effet on vient de voir que l'on ne saurait débarrasser ces formules des imaginaires qu'elles renferment qu'en réduisant la première valeur de X en une suite inflnie, rarement convergente; et il est impossible, lors même que la série est convergente, d'obtenir les expressions exactes des trois racines. On est donc forcé, dans ce cas, d'avoir recours, pour les applications, aux méthodes de la résolution des équations numériques.

Equation du quatrième degré.