X-— (/'+ z^-h- ir) = 'i-[yz -\- ru -+- zti

carrant de nouveau les deux membres de cette dernière équation, on obtient

ou, remplaçant y -^ z-^ u par or, et transposant

r' — 2(j-H- Z-+ iû)x^ — Sjzux -t-{y'-i- z--~ u^Y

Or, pour que cette équation s'accorde avec la proposée, ii faut et il suffit que l'on ait :

d'où

(4) ^-V + ;=«=-f-zv.= =^^l^j

d'où

Telles sont les équations de condition qui peuvent servir à déterminer les valeurs/, z, a, dont la somme formera d'ailleurs la valeur de x. Or l'équation (5), élevée au carré, donne

D'où l'on voit que les carrés j', z^, u^ sont tels, que leur somme est égale

à un nombre donné, — — > la somme de leurs produits deux à deux égale

Mff.B. 36

562 CHiPITnK IX.

à un autre nombre donné ^ ~. ■> et enfin le produit de ces trois carrés, ib

dgalàfl-

Donc, en vertu des relations qui existent (242) entre les coefficients et les racines de l'équation du troisième degré, la détermination des carrés y", a\ z' ne dépend plus que de la résolution de l'équation du troisième degré

t^^Lt^^'- — Ji-t — j-=o.

a ib b4

Si, pour faire évanouir les dénominateurs, on pose < = 7 ' '' vient

(6) s^-^ips'^-^[p^— ^r]s — q"^ =0.

Telle est la réduite de l'équation du quatrième degré.

Désignons par s\ s", s'" les trois racines de l'équation (6), que l'on sai maintenant résoudre ; il en résulte

et, comme on a d'ailleurs a: —y-^ z-h u, il faut combiner ces valeurs par addition, ce qui donnera en apparence huit valeurs différentes. Mais si l'on observe que l'on a, pour une des équations de condition,

on ne doit tenir compte que des combinaisons telles que le produit des trois valeurs de j-, z et u soit positif si q est négatif, et tjégatif si q est positif.

D'après cela, le nombre de solutions est évidemment réduit à quatre, savoir :

1° Lorsque q est négatif, auquel cas la proposée est

.r' -i- px' — qx -)-/• = o,

= H \f>>' -i Js" H 1/^1

Dans ce cas les trois radicaux doivent être positifs, ou Xun positif et les deux autres négatifs.

2° Lorsque q est positif, ou que la proposée est

x'' -^px^-\- qx -+-;•= o,

(//•o/.f radicaux négatifs, ou un négatif et deux positifs).

Pour obtenir les quatre racines en fonction immédiate des coefficients de la proposée, il faudrait remplacer s\ s\ s'" par leurs valeurs tirées de la réduite; mais les formules que l'on obtiendrait seraient, comme on peut en juger, extrêmement compliquées.