DISCUSSION

39o. La réalité ou l'imaginarité des racines de la proposée dépend essentiellement de la nature des racines de la réduite; ainsi l'on est conduit à établir les hypothèses suivantes :

1° La réduite peut avoir ses trois racines réelles. — Mais alors, comme son dernier terme - q" est essentiellement négatif, il s'ensuit que ces trois racines sont positives, ou bien que l'une est positive et les deux autres négatives (31S).

Si les trois racines de la réduite sont positives, les quatre racines de la proposée sont nécessairement réelles.

Si l'une d'elles seulement, s' par exemple, est positive, les quatre racines de la proposée sont imaginaires, à moins que l'on ne suppose les deux racines négatives, s'\ s'" delà réduite (6), égales entre elles, auquel cas les formules ( 7 ) et ( 8 ) se réduisent à

x = lsJ7'^^7', [yj7'~s/7', -I^/?, -1^/7', j. 2 2 2

ou bien

c'est-à-dire que, dans ce cas particulier, les deux premières racines sont imaginaires, et les deux autres sont réelles et égales.

564 CQAPITRE IX.

■i.° Lu réduite peut avoir une seule racine réelle. — Soit s' cette racine, qui est nécessairement positive (puisque le dernier terme — «7' est négatif) ; comme les doux autres racines s" et s'" sont imaginaires, si l'une est de la forme a -^ b \J—\, l'autre est nécessairement (38G) de la forme a — b\/^. Or on a (121)

\a -T- b y/— i = m -i- n \/'— i , \a — b \/ — i = m — n ^ — i ; d'où

Donc, quel que soit le signe de q dans la proposée, les deux premières racines sont réelles et les deux autres imaginaires; car, dans les formules (7) et (8), les expressions des deux premières racines renferment \/s" et \/s"' avec le même signe, tandis que dans les expressions des deux dernières ces deux radicaux sont affectés de signes contraires.

En récapitulant, on voit que l'équation du quatrième degré peut avoir ses quatre racines réelles à la fois ou imaginaires à In fois, ou bien avoir deux racines réelles et deux i-acines imaginaires. (Ce résultat est conforme au principe établi n° 313).

Méthode de résolution des équations du troisième ou du quatrième degré par les fonctions symétriques.

De toutes les méthodes que les analystes ont essayées pour résoudre les équations algébriques, celle qui est fondée sur la théorie des fonctions symétriques, et que l'on doit à Lagrange, est sans contredit la plus féconde et la plus élégante, quoiqu'elle entraîne dans des calculs assez longs ; mais du moins on se forme aisément une idée de la manière dont elle peut être appliquée aux équations d'un degré supérieur au quatrième.

Pour faire mieux concevoir cette méthode, nous allons d'abord l'appliquer à l'équation du second degré.

Equation du second degré.

396. Soit X- ^ px -+- q = o l'équation proposée. Appelons a el b ses deux racines; on a déjà (2i2), entre ces racines et les coefficients, les relations

a -h- b = — w, ab — a.

MÉTHODE DE RÉSOLUTION FAR LES FONCTIO-NS SYliÉTRIQUES. 565

Si Ton pouvait obtenir une autre équation du premier degré en a et b, on aurait, pour déterminer ces quantités, deux équations du premier degré, et la question n'offrirait plus aucune difficulté.

Désignons donc par la h- mh la fonction de <? et de ^ qui doit entrer dans la composition de cette équation inconnue; et posons

la -f- mh = z.

l, m, z étant des quantités qu'il s'agit de déterminer.

Comme Ib — ma donne, par l'échange des lettres n et h, deux combinaisons différentes, la -+- mh et Ih ~ ma, il s'ensuit (287 ) que l'équation qui donnera la valeur de z doit être du second degré et de la forme

(i) [s - [la -t- mh)] [r. - 'Jh - /;w~] ^ o ;

et puisque cette équation est du second degré, il faut du moins faire en sorte qu'elle ne soit qu'à deux termes ou de la forme z^= />, parce qu'alors une simple extraction de racine suffira pour la résoudre.

Or, pour qu'elle se réduise à cette forme, il faut et il suffit que les deux racines soient égales et de signes contraires.

Posons la condition

Ib -t- ma = — la -^ mb) ; il en résulte

Mais on ne peut avoir a -i- b = o, puisque le coefficient du second terme de la proposée est différent, de zéro ; on a donc nécessairement

/ -f- w = o, d'où / = — m.

D'ailleurs la condition précédente suffit pour remplir l'objet que l'on s'était proposé; ainsi m reste indéterminé, et l'on peut faire, pour plus de simplicité, w = i , ce qui donne / = — i .

L'équation (i) denent alors

ou, réduisant

[i) z^ — a^ — b^-\-iab^o.

Observons maintenant que la théorie des fonctions symétriques donne (292)

S^ = a -i- b = — p, Sj = — /:>S, — 27 =//— 2V> ah = q. Substituant ces valeurs de rt'— b^ et de lah dans l'équation {1). on

obtient pour cette réduite

^- — p' -\- ^q = o \ d'où z = ±1 \Jp'^ — kq.

(Si la première valeur de :; représente a — h^ la seconde exprime celle de b — a.) Combinant enBn l'équation a -h b = — p avec la relation

on en déduit

ou bien

(i — b= yjpi'— iq, -\lf-kq, b = —f^--s/p''- 4'7.

Equation du troisième degré.