Passons à la multiplication des polynômes

Soient d'abord deux polynômes a-i- ù ~h c et d-h f, composés de termes tous additifs; on peut présenter le produit sous la forme {a-T-l}-i-c)[d-hf). Mais on a souvent besoin de former un seul polynôme de ce produit indiqué ; et c'est en cela surtout (jue cntisiste la multiplication de deux polynômes.

Or il est évident que multiplier la somme a-i- b-\- c par rf-f-/ revient à prendre a-^b-\- c autant de fois qu'il y a d'unités dans rf, plus autant de fois qu'il y a d'unités dans/, et à ajouter les deux produits. Mais multiplier a -i- 6 -H c par rf, c'est prendre d fois chacune des parties du multiplicande, et réunir les produits partiels, ce qui donne ad -î- bd -i- cd. De même, multiplier a-h b -i-c par/, c'est prendre/fois chacune des parties du multiplicande, et réunir les produits partiels. Donc enfin

[a ~- b -\- c) [d -.- f) — ad -;- bd-h cd-h af-i- bf-h- cf.

Ainsi y pour multiplier deux- polynômes composés de termes tous additifs, il faut multiplier séparément chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, et ajouter tous les produits.

Si les termes sont affectés de coefficients et d'exposants, on suit les règles prescrites (16) pour la multiplication des monômes. Par exemple, (3a' H- ^ab-t- b'']{ia-T' 5b) donne pour produit

Qcâ -.- 8fl^i-H lab^ -\r- i5a^b -i- ao^è^-f- 5^',

ou, réduisant,

6 a^ -i- i3 a'' b -T- aiab^ ~ 5b^.

Pour nous rendre compte du cas le plus général, commençons par remarquer que, si le multiplicande renferme des termes additifs et des termes soustractifs, ce facteur exprime une différence entre le nombre d'unités marqué par la somme des termes additifs et le nombre d'unités marqué par la somme des termes soustractifs. Même raisonnement par rapport au multiplicateur. D'où il suit que la multiplication de deux polynômes quelconques est ramenée à la multiplication de deux binômes, tels que a — b, c — d [a désignant la somme des termes additifs, et — ^ la somme des termes soustractifs du multiplicande); il en est de même par rapport au multiplicateur c — d. Voyons donc comment on peut effectuer la multiplication exprimée par [a — b){c — d).

Or multiplier a — b par c — d revient évidemment à prendre a — b autant de fois qu'il y a d'unités dans c, moins autant de fois qu'il y a d'unités dans d, ou bien à multiplier a—b par c, et à retrancher du produit celui de a — b par d. Mais multiplier a — b par c revient à multiplier c par a — b (en vertu du principe énoncé, 16); ce qui donne évidemment ca — cb,

iG CHAPITRE PREMIER.

OU (ic — hc. De môme, le produit de a — h par d est ad — bd\ et comme on vient de voir que ce dernier produit doit être retranché du précédent oc — b(\, il faut (14) changer les signes de ad - bd, et l'écrire à la suite de vc — bc, ce qui donne enfin

[a — b) {(• — d) ^ ac ^ bc — ad -h bd.

Pour peu qu'on réfléchisse sur la manière dont ce produit vient d'être formé, on verra que, dafis toute multiplication, si l'on considère tous les termes additifs du multiplicateur, il faut multiplier chacun des termes du multiplicande, tant additifs que soustractifs, par ces termes, et ajfecter les produits partiels de signes semblables à ceux don t. les termes du multiplicande sont affectés; et en considérant les termes soustractifs du multiplicateur, multiplier de même chacun des termes du multiplicande, tant additifs fjue soustractifs, par ces termes ; mais affecter les produits partiels de signes contraires à ceux dont les termes du multiplicande sont affectés. Quant h la multiplication partielle d'un terme du multiplicande par un terme du multiplicateur, on suit les règles établies pour les monômes (16).

Soient, par exemple, les deux polynômes

4rt'— !ia''h - - Sab' ,-ib', et 'î.cr — Zab — 4^^',

2,a''-\oa'b-\^a^b'' ^ ia'b' — iitàb -h i5a^b' -i- i^fi^P — Qiab^

8ft'- 'xia^b — i-ja^b- ;- 48^'^' -H 26«è' — UK

Après avoir disposé les polynômes l'un au-dessous de l'autre, on multiplie chacun des termes du premier par le terme na'^ du second, ce qui

donne

Se/' — \ofâ b - lôrt' If 'r- ^a'^b^j

polynôme dont les signes sont les mômes que ceux du multiplicande. Passant ensuite au terme 3ab du multiplicateur, comme ce terme est affecté du signe —, on multiplie chacun des termes du multiplicande par ce terme, en ayant soin d'affecter chaque produit d'un signe contraire à celui du terme correspondant du multiplicande, ce qui donne

— lia* b h i5a'b- ■,- i^a'b' —■ Gab\

produit que l'on écrit au-dessous du premier.

On fait la même opération par rapport au terme 4^', qui est aussi soustractif, ce qui donne

— lOa^b'' 1- loci'b' i- 32«^' — èb'.

REMARQUES SUR LA. MULTIPLICATION. l.j

On fait ensuite la réduotion des termes semblables, et l'on obtient enfin pour l'expression la plus simple du produit.

Sa' — iia*b — iya'b^-\- /^Sa^b' -i- 2&ab' -i- 8b\

La règle des signes, qui est la plus importante à retenir dans la multiplication de deux polynômes, peut s'énoncer ainsi : Ton f es /es fois rjue les deux termes du imdliplicande et du multiplicateur sont affectés du même signe, le produit correspomlcmt est affecté du signe -i- : et lorsque les deux termes sont affectés de signes contraires, le produit est affecté du si<^ne — .

On dit encore, en langage algébrique, que -+- multiplié par -f-, ou — multiplié par —, donne -+-, et que — multiplié par h-, ou -^ multiplié par —, donne — . Mai% ce dernier énoncé, qui n'offre aucun sens raisonnable en lui-même (puisqu'on ne sait ce que signifie : multiplier entre eux des symboles, non des quantités, mais d'opérations arithmétiques), ce dernier énoncé, dis-je, doit être seulement regardé comme une abréviation du précédent.

Ce n'est pas la seule circonstance oîi les algébristes, pour abréger le discours, emploient des expressions incorrectes, mais qui ont l'avantage de mieux graver les règles dans la mémoire.

Nous proposerons pour exercices les exemples suivants :

Premier exemple,

3a'—5bd-:-cf — 5a^-i- 4bd— 8cf

Produi t --i5a'-^Zya'bd~-2ç, a' cf— xo b' cP^ \ 4 bcdf - 8 c^ ^

Deuxième exemple.

qa^b' — 5a'b-c -+- Sa'bc- — 3«'c'— yabc^ 2 ab^ — 4 abc ~ ibc^-h c^

l 8a' b* — \oa^ b* c -i- 18a' b^ c^ — ^ia^b^c^ Produit j — 4 «- /;' c' — 1 6 rt' Z»' c --(- 1 2 fl3 ^ c« -+- 7 a" b" c*

( -i-i/ia^bc''-i~iiab^c''~ 3a^c'~yabc\

18. Nous ferons sur la multiplication algébrique plusieurs remarques fort importantes.

Premièrement. — Si les polynômes qu'on se propose de multiplier l'un par l'autre sont homogènes ( H ) (et la plupart des questions qu'on cherche à résoudre par le secours de l'Algèbre, les questions de Géométrie principalement, conduisent à de semblables expressions), le produit de ces deux polynômes est aussi homogène; c'est une conséquence évidente des règles relatives aux lettres et aux exposants dans la multiplication des quantités

Atsr. D.

j8 CnAriTRE PREMIER.

monômes. En outre, le dcgrc du produit de chaque terme doit être égnl à la somme des degrés de deux termes quelconques du multiplicamle et du mulliplicatcur. Ainsi, dans le premier des deux exemples précédents, tous les termes du multiplicande étant du deuxième degré, ainsi que ceux du multiplicateur, tous les termes du produit sont du quatrième degré. Dans le second, le multiplicande étant du cinquième degré, et le multiplicateur du troisième degré, le produit est du huitième degré. Cette re- ■ marque sert, dans la pratique, à recomiaître des erreurs de calcul par rapport aux exposants. Par exemple, si l'on trouve que, dans l'un des termes d'un produit qwi doit être homogène, la somme des exposants est égale à 6, tandis qu'elle est égale à 7 dans tous les autres termes, il y a erreur manifeste dans l'addition des exposants; ât alors on reprend la multiplication des deux termes qui ont formé ce produit partiel.

Secondement. - Lorsque, daTïs la multiplication des deux polynômee, le produit n'offre aucune réduction âe termes semblables, le nombre total des termes du produit est égal au produit du nombre des termes du multiplicande, multiplié par le nombre des tenues du multiplicateur; c'est une conséquence de la règle (17). Ainsi, que l'on ait 5 termes dans le multiplicande, et 4 dans le multiplicateur, il y en a 5 x 4, ou 20, dans le produit. En général, si le multiplicande se compose de m termes et le multiplicateur de n termes, le produit en renferme m x «.

Troisièmement. — Lorsqu'il y a des termes semblables, le nombre total des termes du produit simplifié peut être beaucoup moins grand. IMais on remarquera que, parmi les différents termes du produit, il en est qui ne peuvent se réduire avec aucun autre : ce sont, 1° le terme provenant de la multiplication du terme du multiplicande affecté du plus haut exposant d'une quelconque des lettres, par le terme du multiplicateur affecté du plus haut exposant de la même lettre; 1" le terme provenant de la multiplication des deux termes affectés du plus faible exposant de la même lettre. En effet, ces deux produits partiels doivent renfermer cette lettre avec un plus haut ou plus faible exposant que chacun des autres produits partiels; par conséquent, ils ne peuvent être semblables aux autres produits. Cette remarque, dont la vérité se déduit de la règle des exposants, sera d'une très-grande utilité dans la division.

19. Pour terminer ce qui a rapport à la multiplication algébrique, nous ferons connaître différents résultats demullipUcation, d'un usage fréquent

en Algèbre.

i' Soit proposé de former le carré ou la seconde puissance d'un binôme a-^b.On a, d'après les principes connus,

(rt-^^)5= [a-\-b) [a-^b]-^ a'-i-^ab-rb';

REMARQUES SUR LA MULTIPLICATION. ïf)

c'est-à-dire que le carré de la somme de deux qiiantitéx se compose du carré de la première quantité, plus le carré de la seconde, plus le double produit de la première par la seconde.

Ainsi, soit à former le carré de bci - 8«^6; on a, d'après ce qui vient d'être dit,

[^à~ Sa'bYr^iSa' :- Soa'b -:- &ia'b\

2° Soit à former le carré d'une différence a — b. On a

[a--b)'= [a-b] [a - b) ^^ a"' ~ lab -,- b';

c'est-à-dire que le carré de la différence de deux quantités se compose du carré de la première, plus le carré de la seconde, moins le double produit de la première par la seconde.

Ainsi

[ja-b'—i-xab^]-^- Aç^a'b'— i^^a^b' ^ i^a^b'.

3° Soit proposé de multiplier a -\- b par a — è. On a [a -:-b) [a-b)-= a-—b\

Donc, la somme de deux quantités, multipliée par leur différence, donne pour produit la différence de leurs carrés. (C'est le théorème démontré, 5.)

Ainsi

(8n' -^ 7rt&') {8rf — '^aP) .^ 64 rt" - ^ç^d^b'.

On peut;, en combinant ces différents résultats, trouver les produits do certains polynômes plus promptement que par le procédé ordinaire. Soit, par exemple, à multiplier 5«- — /[ab ~ 3b^ par 5a^ — ^ab — 3i^-; si l'on remarque que la première de ces deux expressions est la somme de deux quantités od^ — ^ab et 3 6', que la seconde est la différence de ces deux mêmes quantités, on trouve de suite, pour le produit,

(Sa-— ^abf— [Zb-y- --^ ci.5a' — Âoa^b -^ i6a^b' ~ gb*.

20. En réfléchissant sur les résultais de la multiplication que l'on vient d'obtenir, on voit que leur composition, ou la manière dont ils se forment à l'aide du multiplicande et du multiplicateur, est tout à fait indépendante des valeurs particulières qu'on peut attribuer aux lettres « et è qui entrent dans les deux facteurs.

En principe, la manière dont un produit algébrique se forme à l'aide de SCS deux facteursj s'appelle la loi de ce produit; et cette loi reste toujours la même, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres qui entrent dans les deux facteurs.

21. Enfin, un polynôme étant donné, .on peut quelquefois, d'après son inspection, le décomposer en facteurs, ce qui est souvent utile.

Soit le polynôme -zSa^-^oa^b + i5«^6^ : il est évident que les facteurs 5 et rt' entrent dans chacun de ses termes. Ainsi, on peut mettre le polynômcsouslaforme5«H5«'-0«tH 36').Dem6me,G4«*^«-^5r.'i'

se transforme en

{8a'b^-, 5ab'][8u'b'- 5ab').

En effet, Gâ»*b' et aSr/'Z.» étant les carrés de Scâb' et !iab\ il s'ensuit que l'expression proposée est la différence de deux carrés, et qu'elle est (19) décomposable dans la somme des racines de ces carrés, multipliée par la différence des mêmes racines.