MÉTHODE DE RÉSOLUTION PAR LES FONCTIOKS SYMÉTRIQUES
en posant dou
k' -f- Am -H B = o, et u = ~-±: i^ — — B •
appelons en outre i, a, a= les trois racines cubiques de i . on a
2 z = i^\ z = xu", z = y.'^u".
Ainsi, en prenant /« -f- mb -h ne = z' et la -h- me -^ nh = z" pour les deux combinaisons principales, si l'on veut exprimer que les quatre autres forment avec celles-ci une équation de la forme (2), il faut et il suffit que l'on ait les relations
*° le -^ ma -^ nb = en [la -\- mb -^- ne) ,
Ib -^ me ^ na =o?[la-^ mb -^ ne)\
^° Ib ^ ma -+- ne ^ y. [la ^ me -h nb) ,
le -f- mb -h na= y} [la -1- me -hnb).
[Il est à remarquer que l'on ne doit pas égaler indifféremment une quelconque des quatre dernières combinaisons au produit de y. ou de a' par la principale; mais il faut avoir soin que, dans la combinaison prise pour le premier membre de la relation, aucune des lettres a, b, e ne soit affectée d'un coefficient égal à celui dont elle est affectée dans le second membre; autrement on serait conduit à des relations qui impliqueraient contradiction.)
Les quatre relations précédentes peuvent être transformées ainsi :
(/— yLn]c -f-(m— y.l)a-^[n — y.m)b = 0, (/ — y^m) b-^[m — x'n)C'^[n — x'l)a = o, (/— y.n)b-^[m— yLl]a-^ {n~y.m)c =0, [l — y.^m)e-i-[m — x''n)b^[n — x^l)a = o; et ces conditions seront évidemment satisfaites si l'on a séparément
/ = xn, m — xl, n =z xm, l — x-m^ m = y? M, n = aV.
Or celles-ci se réduisent à deux essentiellement différentes, savoir
r, „ , m = xl et n = x-l.
kn effet on a
a'=i; d'oià x = ^ et x^=lt
568 CilAPITRE IX.
donc m = 'J.I revient à
m — — L d'où / = aVrt.
De même n = u}l revient à
-/, d'où l = a.n\
enfin les mêmes relations, m = olI, n = a}L divisées l'une par l'autre, donnent
— = -; d ou m = - n = arn et n — -xin. n a. a
Donc il suffit de considérer les deux relations
m ^= ccl et n = oi}i.
Comme ces relations donnent m et n en fonction de /, et que / reste indéterminé, on peut supposer, pour plus de simplicité,
/ = I , ce qui donne m = a, n = a}\
en sorte que les trois valeurs de /, w, « ne sont autre chose que les racines cubiques de l'unité.
Substituons ces valeurs dans les deux expressions
la -i- mb -h ne = z', la -f- me -+- nb = z" ; il vient
a -t- ccb -h a?c = z', n; -f- ac h- y}b = z".
On pourrait également substituer ces valeurs dans les quatre autres combinaisons, et former ensuite l'équation en z: mais observons que, vu la forme (2) qu'elle doit avoir, ses six racines sont comprises dans les deux équations
z'= 3"= [a-^o:b^u^cY, z^=z"'= [a -^ uc ^ a?b)\
OU, ce qui revient au même, dans l'équation unique
[z'— (« + ai + a=c)5][z'— («-}-ar^- a^^)'] == o.
Effectuant les calculs, et comparant les coeËBcients du produit à ceux de l'équation (2), on trouve
A = — [{a -\- u.b -^- OL^cy -t- [a -^- ac -^ a.'by], B = (a-i- y.b •+• a'c)'(a h- ac -f- a'^')^
Si l'on remonte à la composition primitive de l'équation en z. on recon-
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naît que cette équation est sjTnétrique en a, b, c\ ainsi les coefucients A et B peuvent (29S) s'exprimer au moyen des coefBcients de la proposée, et la difficulté consiste à évaluer les diverses fonctions symétriques dont A et B se composent.
Avant d'aller plus loin, rappelons-nous que, i, a, «^ étant les racines de l'équation j^— i = o, l'on a
I H- a -f- a^ = o; d'où a-t-a'=— i.
Cela posé, développons les valeurs de A et B ; il vient : 1° A= - [2T«='-^3(a + a=)Trt'Z'-+-i2a6c],
ou
A= — (aTrt'— ■àTa''b-^\-i.abc).
Or les formules des n°' 292 et suivants, appliquées à l'équation
Jt'h- px H- (jr = o,
donnent
S, = o, Sj=-PS,-2Q = -2/^, S,= — PS,-QS,-3R= -37;
d'où
To^b = SjS, — 83= — 83= Zq.
D'ailleurs on a
abc = — <7 ; donc
2° 'Q=\[a ■+-c/.b^rj}c][a ^OLC ^ c/}b)Y-
Mais [a -f- a.b ■+- a^c) [a -f- c/.c ■+- x'b) = Trt^-f- (a -+- a.^)Tab = Ta^— lab;
d'ailleurs on a
Ta*=8j=-2/?, Tab = p; ainsi
B={-3pY=-%7p\
Donc, enfin, on obtient pour l'équation en z
Cette équation donne d'abord
OU bien
d'où l'on tire, pour les valeurs de z' et de z",
Ces valeurs étant connues, pour obtenir celles de a^ b, c, il suffit de combiner les trois équations
a -h 01. h ■+- a?c = z\ a ^ y?b -\- xc = z",
rt H- t» -r- C = O,
dont la dernière exprime, comme nous l'avons déjà vu, que la proposée est privée de son second terme.
D'abord l'addition de ces trois équations donne, en vertu de la relation
3(7=iz'-i-z"; d'où l'on déduit « =
ou, remplaçant z' et z" par les valeurs ci-dessus.
C'est la première racine donnée par la méthode du n° 390.
Maintenant multiplions la première équation par a, la seconde par a*, et ajoutons ces produits avec la troisième équation; on obtient
o I 2 ff j' ^ az'-i- y}7!' j
3c — a 2-4- a^z"; d OU c = = a/// + y. n^
m et n désignant toujours (390) les deux radicaux
Enfin multiplions la première par a^ et la seconde par a, puis ajoutons, il vient
36>=zîz-Haz; d OU b = = y/m-\-y.n.
Ce sont encore les deux autres racines trouvées par la première méthode.
