Soit x^ -+- px" -^ qx -\- r= o l'équation à résoudre
Comme on a déjà la relation « -i- 6 -h c -t- </ = o, il faut tâcher d'obtenir trois autres relations du premier degré en «, b, c, d.
Désignons par />a -+- Ib -h me -f- nd l'une de ces fonctions, dont il s'agit de trouver la valeur. Puisque, en permutant les lettres o, è, c, d de toutes les manières possibles, on pourrait (1 45) former vingt-qi'atre combinaisons différentes, il s'ensuit que la réduite en z serait du vingt-quatrième degré; ainsi nous devrions faire en sorte de la ramener à la forme
(i) z"H-Az"^-i-Bz^+C= G,
pour qu'elle fût résoluble à la manière de celles du troisième. Mais d'abord il est possible, à l'aide de quelques artifices d'analyse, d'abaisser son degré.
En effet, fc, l, m, n étant des indéterminées, on réduit le nombre des combinaisons à douze par la supposition de /• = /.
Faisant ensuite m — n, on obtient les six combinaisons
et
l{c-i- d) -{-ni(a~ b), l{b -i- d) -i- m{a -i- c), l{b -i- c) -h m{a -i- d);
toutes les autres rentrent évidemment dans celles-là.
Cela posé, puisque la nouvelle équation en z est du sixième degré, il faut tâcher de la ramener à la forme
[i] z«^ Az'-+-Bz=-+-C = G,
ce qui exige que ses racines soient égales deux à deux et de signes contraires. Or il est évident que l'on satisfera à cette condition en posant /=—/« = I ; car alors les combinaisons précédentes deviendront
et
Observons que les combinaisons placées sur une même ligne horizontale sont égales et de signes contraires; donc, en multipliant entre eux les facteurs du premier degré en z qui correspondent à ces valeurs, on obtiendra pour la réduite
[z^— {a -h b — c — dj-} X [z^ — {a -i- c — b — c/)^]
X [z- — {a -i- d — b — cY] == o.
(a-^bj,
5']1 CnXPlTRE IX.
Celle équalion étant évidemment symétrique en <?, b, c, <f,'ses cocffîcienls peuvent s'exprimer au moyen des coefficients de la proposée ; mais on peut faciliter leur détermination par les considérations suivantes :
D'abord [a -i- b — c — fl)\ développé, revient à
(a -h b -h c ^ ciy — q{ac -\- ad -i- bc -+ bd). Mais on a
a-^b-^C'^d = o, et ab -i- ne + ad -h bc -h bd -i- cd — p ;
donc
— [a -}- b — c ~ dy = ip — 4{ab -<r cd) :
on trouverait de même
— {a-^c—b-dy-.- 4/'- iiac^bd),
— [a -h d — b — cy = ^p — 4(ad-i- bc).
Ainsi, soit posé
l'équation en z se change en celle-ci :
[« — {ab -h cd)] [u — [ac H- bd]'] [u — [ad -+- bc)] = o,
équation de la forme lâ -f- A'«'-f- B'« + C = o, et dont il ne s'agit plus que de déterminer les coefficients.
Or on a :
1° k' = — [ab -\- ac -^ ad -h bc -i- bd -h cd) = —p.
0° B' = [ab -h cd) { ac bd] -{- {ab -+- cd] [ad -f- bc)
-h [ac -i- bd) [ad -h bc),
ou, développant et employant les notations,
B'-^ Ta'bc.
Mais la formule (4) du n° 294, qui peut s'écrire ainsi :
Ta"bPcP.
devient, dans l'hypothèse de « = 2 et /; = i ,
Ta^Oc = S,(S,?-2S3S,-(S,r+2S,.
