MÉTHODE DE RÉSOLUTION PAR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

d'ailleurs, la proposée étant x^ h- px"--^ qx -+- r = o, on a

d'où, substituant dans la valeur B'= Ta-bc,

U = ia^bc = = — 4 ''•

3' C'= — [ab -+- cd) [ac -+- bd) [ad -t- bc),

et en développant,

C'= — {Tfi'b-c-^-obcd>^Ta-).

Or la formule (5) du n° 29i, qui peut s'écrire ainsi,

T «/«^ (S„f — 3Sj„S„+ 2S3,,

devient, dans le cas de « = 2,

D'ailleurs on a déjà trouvé '

S, = 0, S, = — 2/7, 83=--— 3<7, 8^=2/^=— 4r; d'oià

Sj = — QS^ — RS3 — 8Sj = — "xi? -^ ^pr -1- 3 f/- -H ipr = — ip'-h 6pr H- 3ry-.

Donc

j^2(,2,.2^ —8p'-^iip'— 24 /y/- - 4/;^ + I ipr -t- 6 r/^

ou, en réduisant,

Ta-b^c'^=: q- — ipr.

On a enfin abcd^ ou le dernier terme de l'équation, égal à /•, d'où

abcd X Trt" = abcd x S^ = — 2/>'/-; donc

C'= — (y'-î- ipr -+- ipr = \pr — q"^.

Ainsi l'équation en u devient

u^ — pic — ^ru -^ ^pr — </' = o.

Remplaçant maintenant u par sa valeur tirée de l'équation (3), c'està-dire par j-i- , ou plutôt par z -i-/p, afin de conserver la réduite au

574 CDAPITUE IX.

troisième degré et d'avoir des coefficients plus simples, on obtient finalement pour résultat

(4) z'-i- az-'zM- f/j'— 4^)z— 7'= o,

équation identique avec la réduite obtenue (394) d'après la première méthode.

Si l'on désigne par s', z", z" les racines de cette équation, ^z\ /\z", ^z" seront nécessairement les carrés des trois combinaisons

puisque l'on a remplacé, dans l'équation primitive en z, z' par 4 z.

Ainsi l'on a pour valeurs de ces combinaisons

a -i- b — c — r/=rh2 y/z', a ^ c — h — r/=±2 yV, a -V- d — b — c= ±2 j/z"'.

Combinant ces trois relations avec l'équation déjà établie

on trouve premièrement, par leur addition,

4 « = rh 2 v/z'± 2 v/z"± 2 v/z^', d'où

ff = ± - v/z' d= i v/z" ± - \/z^'.

Secondement, ajoutant la première et la quatrième, puis soustrayant de leur somme celle des deux autres, on obtient

d'oià

6 = ± - i/F' qz - 1/? =p - t/Ç"':

on trouverait, par des moyens analogues,

c = H.iv/?±iv/7'=F-V^P, 2 ' 2 * 2 *

d—^- \fz' q= - \/z"± - i/z'".

Mais il se présente ici une difficulté analogue à celle que l'on a ren-