MÉTHODE DE RÉSOLUTION PAR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

contrée dans l'emploi de l'autre méthode : elle est relative aux signes dont les radicaux doivent être affectés. Pour déterminer ces signes, il suffit de former le produit des trois combinaisons

a -h b — c — d, a -^ c — h — f/, a -^ cl — b — c.

Or, en les multipliant, on obtient pour produit

là^ —Tcrb -t- alV/^c; et comme

Trt'=S3= — 3<7, Trt^^ = SjS, — 83=3(7, Tabc=—q,

il en résulte

ce qui prouve que les radicaux \/?, \fz!\ \JU'' doivent être affectés de signes tels que leur produit soit positif si q est négatif, et négatif si q est positif.

On retombe ainsi sur les mêmes valeurs que celles qui ont été obtenues par la première méthode.

399. Scolie générale. — En appliquant la même méthode à l'équation du cinquième degré, on devrait chercher la valeur d'une fonction de la forme ha -\- kb -i- le -i- md -h ne. Comme les cinq lettres a, b, c, d, e fournissent 24 x 5 ou 120 permutations différentes (i4S), il s'ensuit que la détermination de cette fonction dépendrait d'une équation du cent vingtième degré, dont il faudrait ensuite, à l'aide de quelques artifices d'analyse, faire en sorte d'abaisser le degré; mais jusqu'ici les efforts que l'on a tentés pour obtenir une réduite convenable ont été infructueux ; et l'on doute si jamais on pourra y parvenir, à cause de la longueur et de la complication des calculs.

Depuis longtemps les analystes ont cru devoir renoncer au problème de la résolution générale des équations, problème qui ne peut être d'aucune utilité dans les applications numériques; le seul avantage qu'offriraient les résultats serait de confirmer la proposition hypothétique (236) • Toute équation a au mo:ns une racine.

SyÔ CDAPITIIE X.