COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES SUITES
§ I. — Des séries récurrentes.
400. Nous avons vu (183) que les fractions algébriques rationnelles de
la forme -; n— ? -; — ti r^» • • • donnent lieu à des séries d'une
nature particulière, connues sous le nom de séries récurrentes. Or on peut se proposer, sur ces sortes de séries, deux questions analogues à celles que nous avons résolues pour les progressions par quotient, qui sont d'ailleurs elles-mêmes (198) des séries récurrentes du premier ordre.
La première question a pour objet de déterminer le terme général d'une série récurrente, c'est-à-dire une expression à l'aide de laquelle, le rano' d'un terme étant donné, on puisse obtenir la valeur de ce terme sans être obligé de former d'abord tous ceux qui précèdent.
La seconde a pour but de revenir de la série récurrente à la fraction génératrice, ou, ce qui est la même chose, de déterminer la somme des termes de la série.
Nous supposerons que l'on ait revu avec attention ce qui a été dit aux n*" 183 et 184 sur les séries récurrentes.
Première question. — Détermination du terme général.
401. Pour passer du simple au composé, considérons, en premier lieu,
la fraction -; — -jr- 5 qui) comme on sait, donne naissance à une série
récurrente du premier ordre.
On a trouvé (179)
a a a h' a //' , a tP ,
a'-hb'x a' a' a' a' a'- a' a''
Or cette série n'est autre chose qu'une progression par quotient dont le
premier terme est —, et la raison , x; donc, d'après ce qui a été dit
au n" 192, le ternie général de cette série, ou le «"■"" terme, est
DÉTER51INATI0N DU TERME GÉNÉRAL d'uNE SÉRIE, ETC. 5^7
(i — f- bx 402. Soit maintenant la fraction , ., — ; — j— j, que l'on peut (379)
mettre sous la forme
a -f- tx ^ ' a.'-\- ^'x -^ .ar*'
en posant
a ha', W -,
Désignons par x — p^i x — q les deux facteurs du trinôme .r' -f- 6'x -f- a', et concevons qu'on ait décomposé l'expression (i) dans la somme des deux fractions simples
X — p X — ry
A et B ayant été déterminés, soit par la méthode du n° 380, soit, plus simplement, par celle du n° 381, on a trouvé
Comme chacune de ces fractions donne lieu à une série récurrente du premier ordre, si l'on forme ces deux séries séparément, ainsi que le terme général de chacune d'elles, la somme des deux termes sera le terme sénéral de la série du second ordre.
Cela posé, si l'on compare les deux fractions j — à la frac-
tion — — -p--' pour laquelle le terme général est (401)
il vient, pour le terrr^e général de la série qui correspond à la fraction (i),
expression dans laquelle il ne s'agirait plus que de remplacer A et B par leurs valeurs obtenues ci-dessus.
Soit, pour exemple, la fraction
3 — 2j: 3 -f- ix
pour laquelle on a déjà trouvé (380)
Mg. D. 3;
En vertu do la formule — ( — „ -i- -,, | j^"', le terme général du déve-
3 'xx
loppement de ^ — ^ —^ est
Soit « = I ; cette expression devient
Ai = 3, — (~^ — Tl■3^^ ou H — ^'
I 5\ 3 34 3 ou x^
On a donc, pour le développement lui-même,
3 — IX 4 i ' 7 34 ,
résultat qu'il est facile de vérifier par la réduction en série d'après la méthode des coefficients indéterminés. Mais le principal avantage qu'on retire de la détermination du terme général, c'est de pouvoir obtenir un terme de rang quelconque sans passer par tous les termes intermédiaires.
403. Dans le cas particulier de /-> — 7, le terme général de la fraction génératrice ne peut plus être déterminé de la même manière, puisque le
mode de décomposition en h- est impossible (382).
3C —— ij JC ^~~ iJ
Mais observons que, dans ce cas, la fraction, devenant alors
[x^pY'
peut (même numéro) se décomposer en ces deux-ci :
{x — pY X — p Or la seconde partie de cette expression donne lieu à une série récurrente du premier ordre, qui a (401 ) pour terme général — ( — ) •*■""'•
DÉTERMINATION DU TERME GÉNÉRAL d'uNE SÉRIE, ETC. 579
Quant à la première, elle revient à
ce -i- Sp / xN"'
(a-f-êp) (/?-j:)-=, ou /.' V ~pj *
En développant ce second facteur par la formule du binôme, on a ix "icr} ^x^ n.r'^^
\ PJ P P P P
n désignant le rang d'un terme quelconque ; donc le terme général correspondant à la première partie est
—^2—-^' ou —, X .
Ainsi le terme général qui correspond à la proposée ( 2 ] est
nx-\- (n — 1)0;?
404. Le cas où les deux racines p et y sont imaginaires semble aussi devoir faire exception, puisque l'expression du terme général renferme les quantités p et 7, et qu'alors elle doit être elle-même compliquée d'imaginaires ; mais il est facile de s'assurer que les imaginaires se réduisent et disparaissent tout à fait.
En effet, si l'on remplace, dans — ( --^ + — ) ■^"' , A et B par leurs
valeurs
il vient
expression qui peut se mettre sous la forme
ra(//-- ry") ^ g(;.- - r/"-') H ,
Cela posé, si l'on a
on a aussi nécessairement
+ a)ry«
-ry]
58o cu.\riTRE X.
d'où
p— q = 2iY~j ;/— (f — [r -\- S y/^-i^]" — [r — s\J—ïY = lk\/^-\ (en développant par la formule du binôme et réduisant); enfin p"-^ — q"-^ = 1 k' /— T.
Le terme général devient donc
r ^^-^V^ + iu\r=[ j\ ^,
L ( r^ -}- s^ fis \/—i ( r^-i- S' )""' -is \/—i J
expression tout à fait débarrassée d'imaginaires.
403. Remarque. — En réfléchissant sur la marche que l'on a sui^^e pour la détermination du terme général relatif à une série récurrente du second ordre, on aperçoit facilement que la question est ramenée à la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples; problème qui a été résolu à la fin du Chapitre VIII (n° 379 et suiv.j.
Tant que les racines du dénominateur égalé à zéro seront inégales, la
décomposition en fractions de la forme pourra toujours être opérée ,
et la détermination du terme général se réduira à celle d'un terme général d'une série récurrente du premier ordre. Mais s'il y a des racines égales, on sera conduit à la recherche du terme général d'une expression telle
que
^ A A f X ou I
[x — pr p-"\ p
ce qui est toujours facile par l'application de la formule du binôme. Toutefois, pour ne rien laisser à désirer, il reste à indiquer comment on peut arriver au terme général d'expressions telles que
[j:-pf {^-Pf i-^—pf 406. Soit d'abord l'expression -. -35 qui revient à
Aix — p]-^ ou — -^(i —
SOMMATION DES SÉRIES RÉCURRENTES. 58l
On a
'i fV'^j^3-^ , 3.4 .r' , 3.4.5 j:^
et le terme général de cette série est évidemment
ou, en simplifiant,
Donc le terme général de l'expression proposée est
3 — ■ -^731 ) ou bien '- — -. x"-',
De même, -. -. revient à •^ ( i— - ) ; mais
[x-py-'— jy^ p) 5
série dont le terme général est
OU, en réduisant,
«(/2 + l) (/Z -f- 2) OT""' 1.2.3 /.'''"'
Donc on a, pour le terme général de l'expression proposée, A /?(/z-f- !)(/? + 2) .r"-' n[n-^\]{n-^i) A .
^ ^73 jtÂ^' ''''^'''' ^73 W "•'
e; «/«j/ de suite.
Ainsi nous pouvons regarder comme résolu complètement le problème de la détermination du terme général d'une série récurrente.
Seconde question. — Sommation des séries récurrentes.
Cette question se divise en deux Parties :
Ou l'on demande la somme des termes de la série tout entière, c'està-dire la fraction génératrice qui a donné lieu à cette série, ou bien la somme d'un nombre limité de termes.
La première Partie est la plus facile à traiter.
407. Première Partie. — Soient A, B, C, D, E, F,... les termes d'une série récurrente; et, pour fixer les id(!>es, supposons que la série soit du troisième ordre; mais ce que nous allons dire s'appliquera aisément à une série d'un ordre quelconque.
La méthode est analogue à celle qui a été suivie (193) pour les progressions par quotient.
Désignons par/j, ry, ries quantités qui forment l'échelle de relation, c'est-à-dire les quantités constantes par lesquelles il faut multiplier C, B, A pour former D; puis D, C, B pour former E, et ainsi de suite ; on aura les relations
D = C/j + By-H Ar,
E = D/J-!- Q.q -(- Br, F = E/^^Dr/^Cr, G = F/?^E'7 — D/-,
Ces relations sont en nombre indéûni; donc, si on les ajoute terme à terme, et que l'on appelle S la somme ou Infraction génératrice cherchée, on obtiendra
S — A - B — C = /j(S - A — B) -H 7(5 - A) -t- rS,
d'où l'on déduit
;;(A-f-B)^7A-(A-B-f-Cl
En suivant la même marche pour les séries du premier, deuxième, quatrième, etc. ordre, on peut former le tableau suivant : Premier ordre
Deuxième ordre
Troisième ordre
p-^q-i-r-i Quatrième ordre
^^^ c ;'(A-f-B + Cl-t-<7fAH-B)-+-/-A-fA^ B--C-T-D)
et ainsi de suite.
