SOMMATION DES SÉRIES RÉCURRENTES
Suit pour exemple la série du troisième ordre
i — "xx -^'ix'^ — \ox^ -^- i-ix'' — 5i.r*-r- 120 JT^-i- . . ., dont l'échelle de relation se compose de l'ensemble des quantités
( — X, -+- 2.r^, — 3^'); on trouve, en appliquant la formule (3), et observant que l'on a
— x(i — 2x] ->- -ix- — l-f-2.r — 3/'^ I — X — J^
— X -h ix- — j.r^ — I I -t- .1- — :4.r' -f- 3x^
Il arrive quelquefois que, dans la série proposée, les deux ou trois premiers termes ne sont pas compris dans la loi de récurrence. Cela provient (184) de ce que, dans la fraction qui lui a donné naissance, le degré du numérateur est plus élevé que celui du dénominateur. Dans ce cas, pour obtenir la. fraction gènératrire, on commence par faire abstraction des termes dont on vient de parler; puis, après avoir obtenu, d'après les formules précédentes, la somme des autres termes, on y ajoute les termes dont on avait d'abord fait abstraction, en ayant soin de réduire le tout en une seule expression fractionnaire.
408. Seconde Partie. — Dans les formules précédentes, il n'entre que les premiers termes de la série et les quantités qui forment l'échelle de relation ; mais, si l'on demande Vexpression de la somme d'un nombre déterminé de termes^ il faut en outre connaître les derniers termes de la série.
Soit encore une série récurrente du troisième ordre, dont les premiers termes sont A, B, C, D, E,. . . , l'échelle de relation [p, </, r), et les derniers termes K, L, M, N.
Puisque la série est du troisième ordre, on a les relations
D = C/J^Bry H-Ar, E -Dp^Cq -t-Br, F == E/? -i- D«y -t- Cr,
N — M/:>-H Lry -h K/-.
Le nombre de ces relations est limité et égal au nombre des termes dont on cherche la somme, diminué de trois. Cela posé, en les ajoutant terme à terme, et désignant par S la somme
cherch(!"e, on a évidemment
d'où l'on tire
;;(AH-B-<-N)-+-r/fA-4-N-+-?H)^-/-(N-^M^L)-(A--B^C)
On pourrait également obtenir les sommes relatives à une série récurrente d'un ordre quelconque.
En comparant cette formule avec la formule (3) du n° 407, on voit : 1° Que celle-ci se déduit de celle que l'on vient d'obtenir en négligeant tous les termes affectés de L, M, N, . . . ;
2° Que, pour appliquer la formule (3), il suffit, comme nous l'avons déjà dit, de connaître les trois premiers termes et l'échelle de relation; tandis que, pour faire usage de la formule précédente, il faut absolument avoir les expressions des trois termes qui précèdent celui auquel on a arrêté la série : ce qui exige que l'on sache trouver le terme général de la série, c'est-à-dire l'expression d'un terme de rang quelconque, question qui devient très-compliquée quand la série est d'un ordre un peu élevé.
409. Au reste, les formules relatives au cas de la somme d'un nombre déterminé de termes s'appliquent principalement aux séries récurrentes numériques.
Soit, par exemple, une série récurrente du troisième ordre, dont les trois premiers termes étant i, 2, 3, le suivant est égal au double du troisième, augmenté de la somme des deux premiers; le cinquième est égal au double du quatrième , augmenté de la somme du troisième et du deuxième ; et ainsi de suite. Le développement de cette série sera
Cela posé, pour obtenir la somme des onze premiers termes, on fera, dans la formule ci-dessus,
ce qui donnera
Si l'on demandait la somme d'un plus grand nombre de termes, par
SOMMATION DES SÉRIES RÉCL'RREMES. 5S5
exemple la somme des cinquante premiers termes, il faudrait pousser la série jusqu'au cinquantième inclusivement, ce qui ne laisserait pas que d'être fort long.
Ou bien il faudrait former directement les quarante-huitième, quarante-neuvième, cinquantième termes, d'après l'expression du terme général. Or, pour obtenir celui-ci par la méthode exposée précédemment, on commencerait par mettre la série proposée sous la forme
I -i- 2 ji" -H 3 .r- -!- g .r^ -i- 23 x' -I- 58 x-^ -H . . . ;
on rechercherait la fraction génératrice qui a donné lieu à cette série, et on la décomposerait (402) en trois fractions simples pour chacune desquelles on obtiendrait un terme général. Faisant ensuite la somme de ces trois termes généraux, on aurait celui de la série i^ax-t- "ix^—- . . .; enfin on supposerait x = i, ce qui donnerait le terme général de la série i-T-2-f-3-H9-t-23 -+-.... Mais il est facile de s'assurer que tous ces calculs sont souvent impraticables.
En effet, si l'on applique la formule (3) du n" 407 à la série
l ^- IX -r- 3x--i- QX^ -h. . .,
en y supposant
1 — ax — X — x^
Or l'équation x^ ^ x^ -h ^x — i = o ne peut évidemment avoir que des racines incommensurables; ainsi la décomposition de la fraction
— ~ 5 î en fractions simples ne peut se faire d'une manière
I — IX — X'' — x-*
exacte.
Ces réflexions prouvent que certains résultats analytiques, simples en théorie, sont quelquefois peu susceptibles d'application.
410. Nous terminerons la théorie des séries récurrentes par l'exposition d'un moyen dû à Lagrange, pour reconnaître si une série proposée est de la nature des séries récurrentes.
Ce moyen est fondé sur les observations suivantes :
1° Si la série proposée, que nous désignerons par S, est une série récurrente du premier ordre, elle provient d'une fraction de la forme
586 ciuriTRE X.
Or on a
ce qui prouve que la fraction renversée, ou, ce qui revient au môme l'unité divisée par In série proposée. S, doit donner pour quotient unr fonction entière de x (230) égale à p ->r- qx. Si cette division ne se fait pas exactement, c'est que la série (en supposant qu'elle soit récurrente est du second ordre on d'un ordre supérieur. 2° Si c'est une série récurrente du second ordre, elle provient d'une
fraction de la forme —, — r, 1—. ; or on a
a' -\- 1/ X ^ c' x^ a' ah' -^ hfi' a'^c' — h[ah' —ha') ,
a-^-bx a a^ a\a-\-hx)
OU
p -+- qx H ; X^ ,
a -h bx
ce qui prouve que l'unité, divisée par S, doit donner lieu à un quotient entier de la forme p -\- qx, plus un produit de x^ par une série récurrente du premier ordre, c'est-à-dire que, en désignant par S'^^ le reste auquel on parvient après avoir divisé i par S et obtenu le quotient p -+- qx,
g on doit trouver -^ égal à un quotient exact de la forme p'-':- q'x\ et ainsi
de suite.
4H. Guidé par ces considérations, Lagrange a donné la règle suivante pour reconnaître si une série proposée est récurrente.
Soit S = A -4- B j: -+- Cj:' -h Dx^ -(-... cette série.
1° Divisez limité par S, et poussez l'opération jusqu'à ce que vous ayez un quotient de la forme /j» A' -i- qx, et un reste tel que S'^^ (S' désignant une série indéflnie de ia forme A' -h B'.r-f- C'.r'-;- . . .).
2° Divisez S par S', et poussez Vopération jusqu'à ce que vous ayez un quotient de la forme /j'-t- q' x, et un reste tel que S"j;' (S" étant égal à A"+B"x-f-C".r=-^...).
3° Divisez S' par S", et poussez Vopération jusqu'à ce que vous ayez un quotient de la forme />"-<- q"x, et un reste tel que S'" a:'.
4° Divisez S" par S'", et poussez l'opération jusqu'à ce que VOUS ayez un quotient delà forme de //"— q"'x, et un reste Sjr"% et ainsi de suite.
Dès que l'une de ces divisions se fait exactement, la série proposée est récurrente, et l'ordre de la série est marqué par le rang de la division qui s'est faite exactement.
CARACTÈRES AUXQUELS ON RECONNAIT Qu'UNE SÉRIE, ETC. ^87
Quant à l'échelle de relation de la série, on l'obtiendrait aisément (184) si l'on pouvait obtenir la fraction génératrice.
Or supposons, pour fixer les idées, que la troisième division se fasse exactement.
On aura donc la suite d'équations
La dernière donne
S' p" -^ 7"a:' d'où, en substituant dans la seconde,
p -^qx
Donc
Substituant cette valeur dans la première équation, on trouve
OU bien
\ [p -+- qx) Ip'-h q'x) (p"-h- q"x) -h i p -i- qx)x'-\- (//'-H q"x)x^ ^ IP' "•" (7 -^ j KP" -+■ q"^) -T- ^''
donc, enfin,
[p ■+- qx) {p'-+- q'x} [p" -\- q"oc) -i- [p -H qx)x^ -f- (//•+■ q"x)x^
expression qui, simplifiée, est de la forme
„ a -^ bx -^ cx^
a -i- b X -^ c X- -+- ci x^
et l'échelle de relation est alors (184)
f-^x --X' --orA.
58S CnAPITRE X.
Prenons pour exemple la série
I, 3, 6, lo, i5, 21, 28, 36, 45,...,
... ,, . ,, . , , , rt(/Z -+- 1)
dont chaque terme s obtient d après i expression générale >
n désignant le rang du terme que l'on veut former.
Pour reconnaître si cette série est récurrente, on la mettra d'abord sous la forme
I H- 3x -H 6j:^-i- ioj;'-+- i5x*-h i\x^-\- 28x*-f- 36j:'-i- 45^*-+-
Cela posé, en appliquant la règle ci-dessus, on trouve
. . . = I — ox + -rj- j: ,
S' ayant pour développement 3 ^ 8^-Hi5a7--+- 24^'-î- 35a;'-^ 48jr'4- 63.r«-^ 80^' + 9907» -h.
S i-4-3.r ^6.r' ^ ^ £ \ ^-1^^ S^ ~ 3 + 8j7-+-i5x' 3 9 9 is''
(S"=i-h Zx -F-6x'-*-ioj;'-H...); S' 3-H 8x-f-i5a,-
S" I -+- 3 a: H- 6jr^-f- 10^'
quotient exact.
Ainsi la série est récurrente et du troisième ordre. Pour obtenir l'échelle de relation, rapprochons les équations
ST, = 3-x;
la dernière donne
et par conséquent
3j;-Ha.-'(3-a:) = i- Zx-r-Zx^-a
