DE LA DIVISION ALGÉBRIQUE

22. La division algébrique, comme la division arithmétique, a pour but, étant donnés un produit de deux facteurs et l'un de ces facteurs, de trouver le second facteur.

Division de deux monômes.

Considérons d'abord le cas de deux monômes.

Soit à diviser 72^' par 8a\ ce que Ton indique ainsi : ^- On demande une troisième quantité monôme qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. Or, d'après les règles établies pour la multiplication des monômes, la quantité cherchée doit être telle, que son coefficient, multiplié par 8, donne pour produit 72, et que l'exposant de la lettre a dans cette quantité, ajouté à 3, exposant de la lettre a dans le diviseur, donne pour somme 5, exposant du. dividende. Ainsi, Ion obtiendra celte quantité en divisant 72 par 8, et retranchant de l'exposant 5 l'exposant 3, ce qui donne

Z^=qa^ et, en effet, on a 8«';-9«'" 7^^'-

On a, d'après les mômes remarques,

}È^}!J^ = 5a'bc; et, en effet, yab x 5a'bc --^ Ua'b'c;

yab

d'où l'on voit que, pour diviser deux monômes l'un par l'autre, il faut, 1» diviser les deux coefficients l'un par l'autre; 7." pour les lettres corn munes au dividende et au diviseur, écrire chacune d'elles à la suite du coefficient, en l'affectant d'un exposant égal à l'excès de l'exposant du

DIVISION DES MONOMES. 21

dividende sur celtn du diviseur; 3° écrire à la suite, et avec leurs exposants respectifs, les lettres qui entrent dans le dividende sans entrer dans le diviseur.

Od trouvera, d'après cette règle,

^ — ^ /^a^bcd, -—^ -^ 5n'Pcd.

liab c ôoa ùcl

[rnrez le n" 24, pour le cas où les exposants d'une même lettre sont égaux dans le dividende et le diviseur.)

23. Il résulte de la règle précédente que la division des monômes est impossible, premièrement, si les coefficients ne sont pas divisibles l'un par l'autre; en second lieu, si certains exposants sont plus forts au diviseur qu'au dividende; en troisième lieu, si le diviseur renferme une ou plusieurs lettres qui ne se trouvent pas dans le dividende. Dès qu'une ou plusieurs de ces trois circonstances se rencontrent, le quotient reste sous la forme d'un monôme fi-actionnaire, c'e?t-à-dire d'une expression dans laquelle entre nécessairement le signe algébrique de la division, mais qu'on peut souvent simplifier.

Soit, par exemple, iia^b^cd à diviser par 8a-bc^.

On ne peut trouver ici pour quotient un monôme entier, c'est-à-dire un monôme débarrassé du signe de la division, parce que 12 n'est pas divisible exactement par 8, et qu'en outre l'exposant de c est moins grand au dividende qu'au diviseur. Ainsi, on présentera le quotient demandé

na^b^cd sous la forme „ , . ,- ; mais on peut simplifier cette expression, en h a- oc

remarquant que les facteurs 4, r/^, 6 et c étant communs aux deux termes

de cette fraction, rien n'empêche de les supprimer; et l'on a pour résul-

tat,

■xc

En général, pour simplifier un monôme fractionnaire, il faut, i" supprimer le plus grand facteur commun aux deux coefficients ; 1° retrancher le plus petit des deux exposants cVune même lettre, du plus grand, et écrire la lettre affectée de cette différence d'exposants dans celui des deux termes de la fraction où V exposant était le plus grand; 3° écrire les lettres non communes, avec leurs exposants respectifs, dans celui des deux termes de la fraction où ces lettres entraient.

On trouvera, d'après cette règle,

48aV;Vrr 4^rV/^ "j-ab^'d ^^ S;/-»' 7^^L. ma^b\-de ~" Zbe '' 6aU>c'd' "^ ha'd' i/ia'b^ 2ab'

22 CHAPITRE TREMIER.

Dans le dernier exemple, comme tous les facteurs du dividende se trouvent au diviseur, le numérateur se réduit à Vanité, parce que cela revient à diviser les deux termes de la fraction par le numérateur.

2i. Il arrive souvent que les exposants de certaines lettres sont les mômes au dividende qu'au diviseur.

Soit, par exemple, à diviser a4«'è^ par 8«'i'; comme la lettre b est affectée du môme exposant, le quotient ne doit pas la renfermer, et l'on a

— ,,.,- = 3«. Biais on remarque que ce résultat 3n peut ôtre mis sous

une forme propre à conserver la trace do la lettre b qui a disparu par l'effet de la réduction.

En effet, si l'on applique, par convc/îtion, à l'expression -pi 'a règle des

exposants (22), il vient j^ — b\ Ce nouveau symbole b" indique (2) que

la lettre entre o fois comme facteur dans le quotient, ou, ce qui revient au même, qu'elle ne doit pas y outrer; mais il indique en môme temps qu'elle entrait dans le dividende et le diviseur, et qu'elle a disparu par l'effet de l'opération. Ce symbole a l'avantage de conserver la trace d'un nombre qui faisait partie de la question que l'on avait en vue de résoudre, sans pour cela changer en rien le résultat ; car, puisque Z*" provient de

-,-.;: qui d ailleurs est égal à i, il s'ensuit que ^ab" équivaut à 3<7 x i ou

3n. De môme

3a'bi

Comme il importe d'avoir des notions exactes sur l'origine et la signification des symboles employés en Algèbre, nous nous proposons de faire voir (\\\'en général, toute quantité a, affectée de V exposant o, équivaut à I, c'est-à-dire que l'on a a' = i .

En effet, cette expression provient, comme nous venons de le dire, de ce que a est affecté du môme exposant au dividende et au diviseur d'une

a'" division indiquée. Ainsi l'on a a" = -^^ ( m désignant pour plus de généralité le nombre entier qui sert d'exposant à a). Mais le quotient de toute

quantité divisée par ellc-môme est i ; donc -- = i ; donc aussi l'on a «*= I.

Le symbole a" n'est, nous le répétons, employé, par convention, que pour conserver dans le calcul la trace d'une lettre qui entrait dans l'énoncé

DIVISION DES POLYNÔMES. rî3

d'une question, mais qui doit disparaître par l'effet d'une division; et il est souvent nécessaire de conserver cette trace.

Division de deux p'.dy nomes, 2o. Premier exemple. — Soit à diviser

Sici^l?-^ loa'' — ^^câh ~ x^h'' -^ ^aP par \nb — ^a^^ZU^. Pour suivre plus facilement les calculs, on peut les disposer ainsi :

\cv^b — loa' -r- Çiurb'^ \ ~%u' -r- "oab— bU^

b-ja^b"-— 4ofl'6— \bb^-r- ^ab^ — Z-xcrb"^^ j^Qœ'b — "i^ab^

ibn'^b- — i5^* — 10 ab^ —10 nb^ — iSri^b^^ iSb*

Le but de cette opération est, comme nous l'avons déjà dit (S'S), de trouver un troisième polynôme qui, multiplié par le second, reproduise le premier.

Il résulte de cette définition et de la règle établie (17) pour la multiplication des polynômes, que le dividende est l'assemblage, par addition et après réduction, des produits partiels de chacun des termes du diviseur , multipliés par chacun des termes du quotient cherché. Cela posé, si Ton pouvait découvrir dans le dividende un terme qui provînt, sans réduction, de la multiplication de l'un des termes du diviseur par l'un des termes du quotient, alors, en divisant l'un par l'autre ces deux termes du dividende et du diviseur, on serait sûr d'obtenir un terme du quotient cherché.

Or, d'après la troisième remarque du n° 18, le terme \on\ affecté du plus haut exposant de la lettre <?, provient, sans réduction, de la multiplication des deux termes du diviseur et du quotient, affectés respectivement du plus lïaut exposant de la même lettre. Donc, en divisant le terme lort' par le terme — 5a- du diviseur, on sera certain davoir un terme du quotient cherché. Mais il se présente ici une difficulté, c'est de déterminer le signe dont le terme du quotient doit être affecté. Pour ne pas être arrêté dorénavant à ce sujet, nous allons établir une règle qui sera la ?ègle des signes de la division.

Comme, dans la multiplication, le produit des deux termes de même signe est affecté du signe h-, et que le produit de deux termes de signes

2^ CHAPITRE PREMlEn.

contraires est affecté du signe -, on peut conclure : i° que, si le terme du dividende a le signe ■+- et celui du diviseur le signe h-, le terme du quotient doit avoir le signe -f ; 2° que si le terme du dividende a le signe + et le terme du diviseur le signe -, le terme du quotient doit avoir le signe -, parce qu'il n'y a que le signe - qui, combiné par multiplication avec le signe - du diviseur, puisse reproduire le signe -^ du dividende; 3° que si le terme du dividende a le signe - et le terme du diviseur le signe +, le quotient doit avoir le signe - ; 4° enfin, si le dividende a le signe - et le diviseur le signe -, le quotient doit avoir le signe h- .

En résumant, on voit que cela revient à dire :

Si les deux termes du dividende et du diviseur sont de même signe, le quotient doit être affecté du signe + ; et s'ils sont affectés de signes contraires, le quotient doit être affecté du signe -. On dit encore, par abréviation,

-f- divisé par -+-, et — divisé par —, donnent -h ; — divisé par -+-, et -i- divisé par —, donnent — .

Revenons à notre objet.

Dans l'exemple proposé, \oa* et - 5«' étant affectés de signes contraires, leur quotient doit avoir le signe -; d'ailleurs \oa' divisé par 5a' donne ia^ (22) ; donc — 2a* est un terme du quotient cherché. Après l'avoir écrit au-dessous du diviseur, on multiplie chacun des termes du diviseur par ce terme, puis on soustrait le produit

du dividende, ce qui se fait en écrivant ce produit, avec des signes contraires, au-dessous du dividende, et en opérant la réduction. 11 vient ainsi pour résultat de la première opération partielle.

Ce résultat se compose des produits partiels de chacun des termes du diviseur par chacun des termes qui restent à déterminer au quotient. On peut donc le regarder comme un nouveau dividende, et raisonner sur lui comme sur le dividende proposé. On est alors conduit à prendre, dans ce résultat, le terme — 4ofl'Z', affecté du plus haut exposant de a, et à le diviser par le môme terme - ba^ du diviseur. Or, d'après les principes précédents, — koa^'b divisé par — bn"" donne pour quotient, -+- 8^6, nouveau terme qu'on écrit à la droite du premier. Multipliant chacun des termes du diviseur par ce terme, et écrivant les produits avec des signes contraires, au-dessous du second dividende, puis faisant la réduction, on

DIVISION DES POLYNÔMES. ^5

trouve pour résultat de la seconde opération,

divisant encore i^a^b^ par — 5câ, on a pour quotient, — 5i-, qui forme le troisième terme du quotient. Multipliant le diviseur par ce terme, et écrivant les termes du produit, avec des signes contraires, au-dessous du troisième dividende, puis faisant la réduction, on obtient pour résultat, o. Donc — in'-^-^nb — 5b\ ou Sab — arr— 5b\ est le quotient demandé; ce qu'on peut d'ailleurs vérifier en multipliant le diviseur par ce polynôme : le produit effectué doit être égal au dividende.

En réllécliissant sur les raisonnements précédents, on voit que, comme dans chaque opération partielle on est obligé de rechercher le terme du dividende affecté du plus haut exposant de l'une des lettres, et de le diviser par le terme du diviseur affecté du plus haut exposant de la même lettre, on éviterait cette recherche si l'on avait le soin d'écrire à priori les termes du àividende et du diviseur, de manière que les exposants d'une même lettre allassent en décroissant de gauche à droite. C'est ce qu'on appelle ordonner le dividende et le diviseur par rapport à une même lettre. Au moyen de cette préparation, le premier terme à gauche du dividende, et le premier terme à gauche du diviseur, sont toujours les deux termes qu'il faut diviser l'un par l'autre pour avoir un des termes du quotient; et il en est de même dans toutes les opérations suivantes, parce que les quotients partiels et les produits du diviseur par ces quotients sont continuellement ordonnés.

Voici le tableau des calculs de l'exemple précédent, après que l'on a ordonné les deux polynômes :

iofl'-48rt'è + 5i«*è^-f- l^aP- \5b'] - 5a^--^ [^ab -^ ^b-

— ioa*+ 8rt'6+ 6«»i= \

— icr-i- i^ab -

— l\Oa^b -\- 5']a'^P+- ^ab^—i5b*

-H ^oa^b — Sart'A-— i^ab^

-i-25a^b'-ioab'- i5b'

— 20 (7^^- H- loaP-i- i5b'

26. De là on peut conclure la règle suivante pour diviser deux polynômes l'un par l'autre : Après avoir ordonné le dividende et le diviseur par rapport à une même lettre, divisez le premier terme à gauche du dividende par le premier terme à gauche du diviseur, vous obtenez ainsi le premier terme du quotient ; multipliez le diviseur par ce terme, et retranchez le produit du dividende proposé. Divisez ensuite le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, vous obtenez ainsi le second terme

20 CnAPITRE PREMIER.

cht quotient ; multipliez le diviseur par ce second terme, et retranchez le produit du résultat de la première opération. Continuez ainsi les opérations jusqu'à ce cpi enfin vous obteniez pour résultat, o : auquel cas, la division est dite exacte.

Lorsque le premier terme du dividende ordonné n'est pas exactement divisible (23) par le premier terme du diviseur aussi ordonné, c'est un signe que la division totale est impossible, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de polynôme entier qui, multiplié par le diviseur, puisse reproduire le dividende. Et, en général, on reconnaît qu'une division est impossible, lorsque le premier terme de l'un des dividendes partiels n'est pas divisible par le premier terme du diviseur.

27. Nous remarquerons en passant que, s'il y a quelque analogie entre la division arithmétique et la division algébrique, par rapport à la manière dont les calculs sont disposés et eiïectués, elles ont entre elles cette ditférence essentielle que, dans la division arithmétique, les chiffres du quotient s'obtiennent par tâtonnement, tandis que, dans la division algébrique, le quotient que l'on obtient en divisant le premier terme d'un dividende partiel par le premier terme du diviseur, est toujours un des termes du quotient cherché. Si cette division partielle ne^ peut s'effectuer, on doit conclure tout de suite que la division totale est impossible. Sous ce rapport, la division algébrique est plus simple que la division arithmétique.

En outre, rien n'empêcherait de commencer l'opération par la droite, au lieu de la commencer par la^ gauche, puisque alors ce serait opérer sur les termes affectés des plus faibles exposants de la lettre par rapport à laquelle on a ordonné. Dans la division arithmétique, on ne peut trouver le quotient qu'en commençant par la gauche.

Enfin, telle est l'indépendance des opérations partielles que comporte le procédé, qu'après avoir soustrait du dividende total ie produit du diviseur par le premier terme trouvé au quotient, soustraction indispensable, on peut, à la seconde opération, diviser l'un par l'autre les deux termes du nouveau dividende et du diviseur, affectés du plus haut exposant d'une lettre différente de celle que l'on avait oonsidérée d'abord; et l'on obtiendra encore un des termes du quotient qui restent à déterminer. Si l'on conserve la même lettre, c'est parce qu'il n'y a pas de raison pour en changer, et que les deux polynômes étant déjà ordonnés par rapport à la première lettre, les premiers termes à gauche dans le dividende et le diviseur sont propres à donner un terme du quotient, tandis que, si l'on changeait de lettre, il faudrait chercher de nouveau les termes afl'ectés du plus haut exposant de cette lettre.

DIVISION DES POLYNOMES. 27