Sommation des termes de In série

cT ^ b"' -\- c"" -^ d'" -^ . ..-I- X-"'-4-/'",

<7, ^, c, d.. . ., Â-, l étant les termes d'une progression par différence. On a, d'après la formule du binôme,

è"— (a -f- r)"'= «'"-f- mrcf*-^ -f- m — ^^ r'a^-'-H. . ., c" = (^> -f- rr = è""' + mr6'"-' -f- m '" ""— r'è^' -)-...,

/"■ = (X- -^ rr = X-"-t- /72/-/î^-' + 772 ~ ^ rH-"-^ -f- . . . .

Ajoutant toutes ces égalités membre à membre, et désignant par S„,

S„,, S„j , Sj, S, les sommes des m''""'", (m — i)''""",. . . puissances,

on obtient

ou, réduisant,

( A ) r — a'"= mr (S,„, — /"-' ) ^ m "^^^ r' ( S„, -/'''-') + ...,

formule qui renferme les sommes des puissances, depuis S„, jusqu'à S„

inclusivement.

IS^ étant égal a a" -i- b" -i- c" -h- . . . -r X"+ /° équivaut à n.)

Pour faire connaître l'usage de la formule (A), faisons successivement

Soit i" /« = 1 , on trouve

/-r/ = r(b„— /°); d'où S„=— ^-M = ^ ^^ - = «,

résultat que l'on connaît déjà.

2° m = %] il vient

/^-.2^=2r(S,-/) -Hz-^IS,-/"),

d'où

' ir ir

SOMMATION DES PUISSANCES SEMBLABLES. 5ç)l

OU bien, à cause de / = « -t- (« — i) r, d'où / — a -+- r ~ ni\ ç, {l -!- a) nr [l ~i- a) n

résultat qui est encore connu (187).

3° m = 3; la formule ( A ) devient

résultat qui fera connaître S, en fonction de S, et de S„. 4° /« = 4;

et cette formule donnera S, en fonction de Sj, S,, S„; ainsi de suite.

D'oîi l'on voit qu'on pourra toujours obtenir la somme des puissances semblables d'un nombre déterminé de termes en fonction des sommes des puissances inférieures, quels que soient les degrés de ces puissances.