Prenons pour exemple la suite naturelle des nombres

et recherchons la somme des carrés, des cubes, etc. des n premiers termes. On a , d'après les formules précédentes , et en observant que a — 1, r-=\, l = n, Sj= /?,

1° S, = ) ou

donc

ou bien encore

donc

, , «* — I 2/2^ — 3/2'-f-rt «' — n n — I S, ^ «' H ; ,

c n*-^iri^+ n^ 11^ [n -+- lY __

5c)-y. cnAPiTRE X.

On trouverait pareillement

et ainsi de suite.

ZV. £. — Afin de distinguer les sommes des puissances semblables des termes de la série naturelle i, 2, 3,. . . des sommes relatives à toute autre progression, nous désignerons dorénavant les premières par /,,/,, /j.-.-, /p; en voici l'usage :

415. On peut toujours, à l'aide de ces expressions, obtenir In valeurde la somme d'un nombre quelconque de termes d'une série dont le terme général est une fonction rationnelle et entière du nombre des termes que l'on considère.

Soit, pour fixer les idées, une série dont le terme général est an''. a étant un nombre connu quelconque , p un exposant entier et positif, n le rang du terme que l'on considère.

La série proposée est alors de la forme

«i''-4-«2''-i-<73P-^<7 4P-[-...-^ an^,

série qui revient évidemment à

a(iP-t-2P-+-3''-+- 4Ph-...-+-«p) = rt/p.

De même, une série dont le terme général est exprimé par

an'' ±1 b n'' ±z c n'' revient à

«(lP-(- 2''-H3''+...-f-«'') ± /;(!'' +2' -^3'/ -H... -+-«')

±z c{i'^ 2' -.-y -^ . . .^ rf) = a f^±z b S^± C S^.

Or les expressions J^, /,, /^ sont connues d'après les formules du n° 41 4 ; ainsi la somme des n premiers termes de la série proposée est également déterminée.

416. Application aux séries de nombres Jtgures. — On appelle ainsi les séries que l'on déduit d'une progression par différence, dont le premier terme est l'unité, et la raison un nombre entier, en faisant successivement la somme des deux premiers, des trois premiers, des quatre premiers, etc. termes de la progression, et opérant ensuite sur la nouvelle série que l'on obtient par ce moyen, comme on a opéré sur la progression; et ainsi de suite.

APPLICATION AUX SÉRIES DE NOMBRES FIGURÉS. SgS

Soit d'abord la progression naturelle des nombres

Les séries

dont la première se forme en ajoutant alternaiivement les deux premiers, les trois premiers, etc. termes de la progression proposée, dont la seconde se forme à l'aide de la première, comme celle-ci s'est formée au moyen de la progression, dont la troisième est déduite de la seconde, comme celle-ci l'a été de la première , etc.; ces séries, dis-je, sont celles des nombres figurés de la première classe.

La première est la série des nombres triangulaires ;

La seconde, celle des nombres pyramidaux triangulaires.

Les séries qui viennent après la seconde n'ont pas reçu de dénominations particulières.

La progression 7i.3.5.7.9.ii...2« — i donne naissance aux nombres figurés de la seconde classe ; et les séries qui en dépendent sont, d'après la loi ci-dessus,

La première de ces deux séries est la suite des nombres carrés- la seconde celle des nombres pyramidaux quadrangulaires.

Ces dénominations proviennent de l'analogie que ces nombres ont avec certaines figures géométriques.

i\l . Les séries qui viennent d'être formées jouissent de plusieurs propriétés curieuses, dont nous ferons connaître la plus importante : c'est que l'on peut toujours former leur terme génércd et obtenir l'expression de la somme des n premiers termes en fonction des quantités /,, /j, j^^

En effet, pour une progression quelconque, la première des séries qui en dérivent est telle, que son n""" terme est égal à la somme des n premiers termes de la progression proposée; donc \° ce terme peut toujours être exprimé rationnellement en fonction de «; 1° puisque ce terme général est une fonction rationnelle de «, la somme des n premiers termes peut (41o) être exprimée au moyen des sommes /,, /„ /j,. . -, dont les valeurs sont connues.

Aie. B. 38

Ainsi soient la progression

et les suites qui en dérivent

I, 3, 6, lo, i5,. . .

I, 4, lO) 2o, 35,. . .

La somme des termes de la progression étant — , le terme général de la première suite est ^ ■, ou — h-; donc (41S) la

somme des n premiers termes de cette suite a pour expression

Le ^ir

ou, remplaçant /j, /, par les valeurs (414),

expression qui peut encore s'écrire ainsi :

De môme le terme général de la seconde suite étant

, ou - n' -f- - rt' -i- - rt,

on a pour la somme des n premiers termes de cette sidte if if if

ou, substituant pour /,, /,, /j leurs valeur?,

■ n^ -\- ir? -^ ri^ "xn^-^Zn^ -r n ir -^ n

n* -h 6n^-i- Il n^-^ 6n n [a -+-i]{n -i- i){n -i- 3) 24 ~ 2.3.4

On aurait de même, pour le terme général de la troisième suite,

w' H- (>«■■'-+- II /^*-^ 6 « I , I , II , I

— ) ou —n'-h-n^-h — n'-h-n,

APPLICATION AUX SÉRIES DE NOMBRES FIGURÉS. SgS

et, par conséquent, pour la somme des n premiers termes, n'-^ io«*-f- 35/?^-i- 5o«'-i- a4/z «(«-)-i)(/2-f-2)(«H-3) (/2-f-4)^

ainsi de suite.

N. ^. — n est à remarquer que les expressions

ne sont autre chose que les termes généraux des coefficients du développement de (i — xY^i en supposant successivement /?? = 2, m = 3, m = 4, /« = 5, . . . [voir à ce sujet le n" 406).

418. Soient encore les nombres figurés qui correspondent à la progression

f I. 3. 5. 7. 9. . . 2« — I, savoir

Le n""" terme de la série des nombres carrés, étant la somme des n premiers termes de la proposée, a pour expression

(in — \ ->r-\]n ,

Donc la somme des n premiers ternies de cette même série est égale

, , ,,.,,. 2rt*-l- 3«'-i- /? . • • ^

a /„ ou {i\A) a -7 ) expression qui revient encore a

«(rt H-l) (27? -m)

Le «■""' terme de la seconde série étant

: ) ou bien -n^ + -n^-\--n.

on a, pour la valeur de la somme des n premiers termes,

ou bien encore

596 CnAPITUE X.

On trouverait do la même manière les termes généraux et sommatoires des séries qui résultent de toute autre progression (*),

§ III. — Retour des suites, ou méthode inverse des séries.

419. La méthode des coeCTicients indéterminés donne, en général, le moyen de développer toute fonction de a: suivant les diverses puissances de cette lettre. Réciproquement cette fonetion, que l'on peut désigner par r, étant développée suivant les puissances de x, on peut, par la môme méthode, obtenir le développement de la quantité x suivant les puissances dey; et c'est en cela que consiste le retour des suites, ou la méthode inverse des séries.

Soit (i) y=aj:-i-bjc--hcx^-hdx*-t-...

la fonction développée suivant les diverses puissances de x [a, b, c, d.... étant des quantités connues) ; on demande réciproquement la valeur de x en j, c'est-à-dire les coefficients du développement

(2) .r = Aj + Bj^+Cj'-+- D/'-f-....

Pour y parvenir, élevons successivement au carré, au cube, etc. les deux membres de l'équation (i) ; il vient

y^ — a^x'^-r- labx^ -i- b^

X* -h 7. ad

-\- lac

-h^bc

y^ = a'x'~h Za'bx'-^ 3ab'

y*= a*x*-h ^a^bx^-h. . .,

d'où, substituant dans l'équation (2) et ordonnant,

Art