Aè
x^-h Xc
x'-^ Ad
-^Ba'
-^Q.Bab -+- Ca'
-+- Bb' -^2Bac -i-3Ca^b -f- Da*
Égalant à zéro les coefficients de x, x^, j-', x\. . . , on obtient les équa-
(*) Foir la Note IX à la fin du volume.
MÉTHODE INVERSE DES SÉRIES. Sq'J
lions
Art— 1=0, AZ»-^B«^=o, Ac -h 2Bab -i- Ca^= o, kd-\- Bè'-r- %Bac ^ SGfl'^' + Dfl' = o,. .. ,
desquelles on déduit successivement
.! T> ^^^ ^ p kc -^ ■i'Bah -xh- ~ ne a a- ^ n^^ ~ a^ ~ n' '
5nbc — 5^' — a^d
a' Ainsi l'on obtient pour le développement demandé
I b , ib- — <7f , 5b' — 5abc -i- a^d ,
N. B. — Si l'on a un développement de la forme
y ^= oi -t- ax -H bx' -:- cx^ -^ . . . ,
il est facile de s'assurer, en reprenant la méthode précédente, que l'on ne peut pas développer x suivant les puissances de la fonction y ellemême : mais on peut faire j — a = z, ce qui donne
z = ax -^ bx^^r- cz^-T-. . . .
Posant ensuite
X =Az-^B3"^-Cz'h-...,
on déterminera les coefficients A, B, C, . , . ; après quoi l'on remettra pour z sa valeur/ — a; et alors le développement de x procédera suivant les puissances, non de la fonction/, mais de l'expression/ — a.
•420. Application. — Soit, pour premier exemple, la série
y=,x-i-x'^-i-xi^'^x*-T-xr'-i-....
Posons
x = Aj -H Bj= -f- Cj' + Dj^ -f- E r' -h . . . .
En formant, comme ci-dessus, les diverses puissances de j, et substituant leurs valeurs dans la seconde identité, on obtient les équations suivantes :
d'oii l'on déduit successivement
A = i, B^ — I, C = -f-i, D= — I, E=-hi;....
Donc
Et, en effet, x -h x^-h a:^-^. . . est une série récurrente dont la fraction génératrice est (410)
Ainsi l'on a
) d'où l'on lire x = — ^
Or, en développant cette dernière expression en série par la division, on trouve
Soit, pour second exemple, l'équation (i) y — iH f h
dont le second membre n'est autre chose que le développement de e* {w//-n°229).
En faisant j — i = z, on a
XX' x^ .r*
Posons alors
{2) a; = Az H- Bz^'-f- 02="+ Dz' -+-....
En formant, à l'aide de Tidentité (i), les diverses puissances de z. puis substituant leurs valeurs dans l'identité (2), on sera conduit aux équations suivantes :
doù l'on déduit
Donc le développement de j: en z est
ainsi Ton a, pour celui de x en j,
^(j-i) (x-^Y (r-iV (.'--iV , 1234 ^
SÉRIES TRIG0N03IÊTRIQUES. Sgg
Observons d'ailleurs que l'équation y ~ é' donne (208) dans le système népérien
. = /.ri donc l.yJl=S}.^^l^:^JZ=l±-[y=}l^....
Tel est, en effet (223), le développement en série du logarithme naturel d'un nombre.
La méthode inverse des séries est d'un usage peu fréquent, parce qu'il est difiBcile de reconnaître, d'après la nature des calculs, une loi de formation pour les coeËBcients; et l'on est souvent obligé de déterminer un grand nombre de coefficients avant de pouvoir saisir cette loi.
■421. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur cette méthode par la remarque suivante :
Si l'on a une équation de la forme
aj -h by^ -r- cy^ -i- . . . = a'x -+- b'x- -\- c'x^ -h...,
formée par deux séries, et qu'on veuille exprimer y en x par une série telle que y = Ax -+- Bx- -^Cx^-i-. . ., il faut, pour obtenir A, B, C, . . . , former les diverses puissances, j', y^, y*,. . ., à l'aide de cette dernière équation, puis les substituer dans la première, ce qui donne alors une équation identique en x, dont on égale séparément à zéro les coefficients correspondants.
Mais les calculs dans lesquels on est ainsi entraîné sont souvent impraticables, parce que les coefficients A, B, C,... entrent dans les équations de condition à des puissances de degré supérieur au second.
§ rV. — Des séries trigonométriqdes et circulaires.
Nous compléterons la théorie des suites par la recherche du développement des trois lignes trigonométriques principales, sinj:, cosor, tango:, suivant les diverses puissances de l'arc ^, séries qui servent à la confection des tables trigonométriques.
Dcveloppemerit de sinx et de cosx.
422. Pour résoudre cette question, nous partirons de la formule
(cos« H- sina \/ — I )"' = cosma -+- sïnnia y/ — i,
démontrée (371 ).
Si l'on développe le premier membre de cette équation d'après la formule du binôme, il est aisé de voir que le développement se compose de
6oO CHAPITHE X.
deux parties distinctes : une partie r celle et une partie affectée de y/— i . Or, pour que l'équation précédente puisse exister, il faut qu'il y ait séparément égalité entre les parties réelles des deux membres et entre les deux parties imaginaires. •
Supposons donc le développement effectué; nous obtiendrons les deux nouvelles équations
cosma ~ cos <7 — m cos" '<? &m a
-!- m — — - — cos"'~*fl sm*<2. . . ,
ml • '" — i m — 1 „ , . , sm ma = m cos asma — m — cos a sin r/ -^ .
Ces formules servent, en Trigonométrie, à déterminer les sinus et les cosinus des arcs multiples ma en fonction des sinus et cosinus de l'arc a , mais on peut aussi en déduire les valeurs du sinus et du cosinus d'un arc en fonction de cet arc.
