I- m — tang*a — . . . \i

smma = co3'"« m tans;^ — m tangua -+-...

Cela posé, faisons

ma — X, d'où m =-:

ces formules deviennent

X — a tan^^a

cos.r = cos"'a [ i — X

X — (7 ,r — T.a X — 3rir tang*rt "\

/ tang<7 X — ax — nn hms,^ a \

smx = cos^fl ( x — 2 X ~ 2 1 . . . ] ,

\ a lia' j

SÉRIES TRIGOKOMÉTRIQL'ES. 6o I

Remarquons acluellement que les trois quantités a, x et m étant liées par la relation

ma = X ou m = -1

on peut faire varier m et a de manière que leur produit x reste constant; car si l'on prend pour a, par exemple, une suite de valeurs tout à fait arbitraires, les valeurs de m correspondant à ces valeurs de fi et à la

valeur constante de x s'obtiendront au moyen de la relation m = --

D'un autre côté, on sait, d'après les principes de la Trigonométrie, que

plus un arc a diminue, plus il approche de devenir égal à son sinus et sa

. , V ,. , sinfi tangfl , tangente; ce qui revient a dire que le rapport ou — 2 tend sans

cesse vers Vunité, et que, quand on suppose l'arc moindre que tout arc donné, ce rapport ne diffère de l'unité que d'une quantité moindre que toute grandeur donnée; en termes algébriques, si l'on suppose a = o, il en résulte

sino tango o G

D'après ces considérations, faisons « = o dans les deux formules cidessus : les premiers membres ne changeront pas, puisque l'on suppose X constant ; mais les seconds membres deviendront

C0S"'Ol - I-

d'ailleurs on a

coso = I, d'où co3"'o = I ;

donc, enfin, l'on obtient (A) cos.r = I -

(*) En appliquant aux séries (A) et (B) les principes établis à la fin du Chapitre VI {^Note sur les séries convergentes), il est aisé de reconnaître qu'elles finissent toujours par devenir convergentes.

En effet, le rapport d'un terme quelconque au précédent peut être exprimé

6o2 CHAPITRE X.

424. Pour faire servir ces formules à la construction des Tables trigonométriques, il faut supposer : i" que l'on connaisse le rapport ■T = 3,i4i592.G. . . de la circonférence au diamètre, ou de la demi-circonférence au rayon ; i" que x représente la longueur d'un arc d'un certain nombre de degrés, rapportée au rayon pris pour unité.

D'après cela, soit proposé de déterminer le sinus et le cosinus de l'arc û!'une minute.

Comme la demi-circonférence dont le rayon est i a pour valeur 3,1415926. .., il vient, pour le quart de circonférence, 1,5707963..., et pour l'arc de i', qui est le 10000'^"" du quadrant dans la division centésimale, 0,00015707963. Il sufiBt donc de substituer dans les deux formules (A) et (B) cette valeur à la place de ^, en calculant les deux premiers termes seulement; car il est visible que les autres seraient extrêmement petits. On peut même observer que, les termes étant alternativement positifs et négatifs, l'erreur commise s'estime (ITG) par le premier des termes que l'on néglige.

Prenons, par exemple, le premier terme x de la série relative au sinus,

, ,, • .. • j (0,00015-07...? pour exprimer sin i ; 1 erreur commise est moindre que -^^- —- •

Or on a

(0,00015707. ..)'<(o, 00016)% ou 0,000000000004096;

le sixième de cette expression est moindre que 0,000000000001 : donc la valeur de sin i ' ne diffère pas de l'arc lui-même dans les douze premiers chiffres décimaux.

En général, tant que x sera une fraction, ce qui aura toujours lieu 'si l'on considère un arc moindre que le huitième de la circonférence (ou 5o degrés), les deux séries seront très-convergentes, et un petit nombre

pour la première série, par et, pour la seconde, par

(2/î — i) in

(« désignant le rang du terme à partir du second).

Or, X ayant une \a\eurjinie et déterminée, il est toujours possible de prendre n assez grand pour que le rapport soit une fraction; et cette fraction diminuera indéfiniment à mesure que n augmentera.

Ainsi ces séries rentrent dans le premier cas du n° 2 de la Note qui vient d'être citée.

COMBINAISONS DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES, ETC 6o3

de termes suffira pour donner des valeurs très-rapprochées de sino: et de cosj:.

42o. Les séries (A) et (B) donnent lieu à des conséquences assez importantes, que nous allons déduire successivement. Première conséquence. — En comparant ces deux séries

(A) cos^

à celle qui donne le développement de e'' (229),

X X^ JC^ X*

e* = IH h

on voit que leur somme donne cette dernière série, aux signes près, de deux en deux rangs; mais si l'on remplace dans celle-ci x par x \J— i , et qu'on multiplie les deux membres de (B) par yJ—\ , on aura, en se rappelant que les diverses puissances de ^—i sont périodiquement (+ /— i", —I, — V^— I, -Hi),

cosj: -+- v/— I sin JT = iH — i/— I

donc

e"^ = cosx -h \/~ I sincr.

En changeant x en — x, et observant que cos(— a:) = cosjc, et sin(— x) = — sin^, on trouverait

COSor — v — ismor;

ce qui donne enfin la nouvelle formule

iV. £. — Les valeurs qu'on vient d'obtenir pour e+'^, e"**^, combinées par addition et par soustraction, conduisent aux deux formules

6o4 - CHAPITRE X.

suivantes, qui sont employées assez fréquemment :

CCS

sin^ = — T= (e+'^— p-'^).

426. Deuxième eonsàijitcncc. — Si, dans la formule (C), on met nx à la place de .r, n étant un nombre réel quelconque, il vient

gAnxv/-i cos«jr rt \/—is\xïnx\

d'un autre côté,

6'^'"'^'= (e=^^^~)"= (cosj: rh v/^rsin^)"; donc

(cos^ rh y'— I sin^)"= CO?,nx ± yj — I sin/2jr.

Ainsi la formule (cos^ ± sin^/— 0'"= coswr? -f- sinwfl v^ — ' > qui n'avait été démontrée (371 ) que dans le cas où m était un nombre entier et positif, est maintenant vérifiée pour un exposant quelconque.

427. Troisième conséquence. — De la formule (C) on déduit encore, en prenant les logarithmes des deux membres dans le système népérien,

— x\J—\ = /. (coScT = y/ — isinor) ;

d'où, en séparant les deux formules contenues dans celle-ci, et retranchant la seconde de la première,

/ — - , cos j: + i/— I sin j:

•xxsj —1 = l. ^ ,

cosj: — \J — isin.r ou bien

I , I -t- V — J tan2;.r

1 — y/— I tang.r

Or on a trouvé (225)

faisant dans cette formule y = y/— i tangx, on obtient

, i-t-i/— I tangx [^ tang'x tan«*^

/. ^7= = 2 ( tanga? 1 1 •

i — V — i tango: \ ô o

SÉRIES CIRCULAIRES. 6o5

donc

. /, tans'a? \.9.n°^x \ , —