r V — I = 2 ( tangx ^ 1 ^ ••• I v — I
et, par conséquent.
,^, , tanai'j? tans:^^:
(D) X = tdiOgX ;:; ■ z • = • •
Cette formule donne la valeur cFun arc en fonction de la tangente de cet arc. Donc, par la méthode inverse des séries (419), on pourrait développer réciproquement tangx en fonction de x\ mais on parvient aussi à ce dernier développement par le moyen qui suit :
Soit
tang^r = Ar -+- Bj:'-i- Cr^-i- \ix'' — . . .
(en observant que la tangente, de même que le sinus, ne peut renfermer dans son développement aucune puissance de degré pair de l'arc, puisqu'elle doit changer le signe avec cet arc). Pour déterminer A, B, C, . . . , on substitue dans la relation
tangxcoso: = sin.r,
à la place de sinx et de cosj:, leurs développements trouvés au n" 423, puis, à la place de tanga-, la série ci-dessus; et il vient
[Xx -r- Bx' -r- Cx
Effectuant la multiplication indiquée, et égalant les coefficients des mêmes puissances de .r, on trouve successivement
et
ainsi
de suite.
1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 1.2.3.4.5.6.7' 428. Les analystes ont fait servir la formule (D) du numéro précédent
6o6 CBJiPITRE X.
à la détermination du rapport approché de la circonférence au diamètre.
Pour que cette formule puisse être utile, il faut que l'arc dont on cherche
la valeur soit tout au plus égal à 5o degrés, puisque l'on a tangSo"— i.
Cela posé, soit 50°= m -+- n, et prenons pour m l'arc dont la tangente
est égale à -? auquel cas on a, d'après la formule (D),
série très-convergente et dont la loi est manifeste.
D'ailleurs l'équation So" = w -i- /z donne
, 0 ^, y , tang5o°— tançm 4 3
n = 5o° — m : d ou tang« = ^^ — ^ ■
iH- tang/«tan25o' i 5
donc, en appliquant encore la formule (D),
'^ ~ 5 ~ 3.5^ "^ 575"^ ~ jTô"' ^ '
ainsi (w -f- «), ou l'arc de 5o degrés, est représenté par la somme des deux séries
La seconde de ces deux séries n'est pas très-convergente, et il faudrait un assez grand nombre de termes pour obtenir un degré d'approximation sufiBsant.
429. Mais on peut parvenir à deux autres séries beaucoup plus convergentes.
Soit c l'arc dont la tangente est égale à rj il en résulte
Or on a, d'après les formules trigonométriques,
1 tane «' 5 , , 1 tans 2 c
I — tang-^c 11 1 — tang-'ap
Comme cette dernière tangente diffère très-peu de l'unité, on peut déjà conclure que l'arc 4 «' diffère peu de 5o degrés, et qu'ainsi la tangente de 4p — 5oo doit être une fraction très-petite.
