CONCLUSION GÉNÉRALE

Cela posé, soit z = /jc — 60", d'où tangz = tang(4r'- 50°); il vient

tans 4 '' — I I

tangz = — '— — = -77-;

° i-+-tang4«' aig

donc

289 3.st39^ ' S.'iSg^ d'ailleurs l'équation z = 4 '' — ^o" donne

Mettant dans cette expression, à la place de v et de z, leurs valeurs, on obtient

V^Sg 3.239^"^ 5.239* "j'

d'où l'on conclut enfin, pour le rapport de la circonférence au diamètre, ou pour le rapport de la demi-circonférence au rayon.

Il est facile de s'assurer que les quatre premiers termes de la première série et les deux premiers termes de la seconde donnent la valeur de tt à moins de 0,00001 près.

430. Conclusion générale. — En réfléchissant à tout ce qui vient d'être dit sur les séries circulaires ou trigonométriques, on voit le parti que l'on peut tirer de l'emploi des symboles imaginaires pour résoudre des questions d'une très-grande utilité. Comme, pour parvenir à ce but, on étend à des expressions imaginaires des formules qui d'abord n'avaient été reconnues vraies que pour des quantités réelles, on pourrait être tenté de révoquer en doute l'exactitude des résultats auxquels on est conduit ; cependant si, après certaines transformations, on parvient à des expressions débarrassées d'imaginaires, qui s'accordent avec celles que fournirait un raisonnement rigoureux et direct, on est forcé d'admettre la légitimité des moyens employés.

C'est ainsi que les analystes ont fait les découvertes les plus importantes, auxquelles on ne parviendrait que très-difficilement par des moyens en apparence plus satisfaisants.

GoS CIIAPITUE X. — CONCLUSION GÉNÉRALE.

La mélhodo suivie pour obtenir les cxprcs.iions de sinx et cos.r ofîrc encore l'exemple d'un raisonnement qui conduit promptement au but, quoique laissant d'abord un peu de vague dans l'esprit.

Pour parvenir à ces expressions, on suppose que, l'arc n devenant nul,

le rapport — 2 se réduit à i. Au premier abord, on a de la peine à

concevoir que, l'arc étant nul, il puisse exister un rapport entre l'arc et sa tangente, et que ce rapport soit égal à i ; mais si, au lieu de supposer l'arc tout à fait nul, on suppose qu'il ne diffère de zéro que d'une quantité extrêmement petite, le rapport entre la tangente et l'arc est alors calculable et diffère très-peu de l'unité; et plus l'arc est petit, moins te rapport diffère de l'unité. D'où l'on peut conclure qu'à la limite de décroissement

de l'arc, c'est-à-dire quand a devient nul, on a — ^ = i. L'exactitude

des formules auxquelles on parvient ainsi , exactitude qui se trouve vérifiée par les applications que l'on en fait à la détermination des sinus et des cosinus de certains arcs, confirme aussi l'exactitude des principes qui y ont conduit.

La considération des rapports des grandeurs variables, dans les limites de leurs accroissements ou de leurs décroissements, est l'objet de V Analyse injïniiésimale , nouvelle branche de Mathématiques à laquelle la théorie des séries peut être regardée comme une espèce d'introduction.

KOTIONS SUR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES. 6of

NOTES DE M. PROUIIET.