NOTIONS SUR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES

(Parje 1 17.)

Lorsque les grandeurs d'un certain ordre sont rapportées à l'une d'elles prise comme unité, on peut les partager en deux classes, suivant qu'elles ont on qu'elles n'ont pas de commune mesure avec cette unité.

Les grandeurs de la première classe, que l'on nomme pour cette raison commensiirables, sont formées par la réunion successive de plusieurs unités ou de plusieurs parties aliquotes de l'unité. Elles sont alors exprimables par un nombre entier ou fractionnaire qui en donne l'idée la plus nette et permet au besoin de les reproduire.

Les grandeurs incommensurables avec leur unité ne sont pas susceptibles d'une génération ni d'une expression aussi simples. Il faut recourir, pour les déduire de leur unité, à des opérations d'un ordre plus élevé.

Considérons, par exemple, ^2. On sait qu'il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à 2, mais qu'on peut trouver une série de nombres croissants dont le carré soit inférieur à 2, et une autre série de nombres décroissants dont le carré soit supérieur à 2. Imaginons donc que l'on ait porté sur une ligne droite, à partir d'un certain point O, des longueurs commensurables OA, OA', OA",..., représentées par les nombres de la première série, et des longueurs OB, OB', OB", ..., représentées par les nombres de la seconde série; comme les dislances B.\, B' A',... vont en décroissant et peuvent devenir moindres que toute distance donnée, on conçoit qu'il existera entre la série des points A et celle des points B un point de démarcation M. La distance OM, limite commune des longueurs OA, OA', OA", ... et des longueurs OB, OB', OB",..- sera représentée par \/2.

Ainsi l'expression v'2 représentera une grandeur aussi bien que 5, 6, -, - :

c'est pourquoi nous dirons que y' 2 est un nombre, et nous le nommerons incommensurable, quoique cette qualification appartienne plutôt à la grandeur représentée.

De même ^5, v''> V'^ — v'j>-- représenteront des grandeurs incommensurables avec l'unité. On conçoit qu'il existera une grande variété de nombres incommensurables. Les plus simples sont les radicaux et leurs diverses combinaisons. La suite de l'Algèbre nous conduira à d'autres classes de nombres incommen su raldes.

Mg. B. 39

6lO NOTE II.

Dans le calcul algébrique, où l'on n'a en vue que les opérations à eirectuer sur les grandeurs, indépendammctit de cis grandeurs elles-mcmcs, on n'a pas à tenir compte de leur nature commensurable ou incommensurable, parce que les transformations qui constituent ce calcul s'exécutent en vertu de théorèmes démontrés pour des nombres commensurables, et que l'on étendra sans peine à des nombres incommensurables.

Par excmi)le, on a démontré que ab^ba lorsque a et b sont commensurables. Or, si a et i sont incommensurables, ab sera la limite (*) d'une série de produits

dV, a"b", a"'b'",...,

a', a", a'", ■ ■ ■ , b' , b" , b'",. . . étant des nombres rationnels (**) ayant respectiveir.ent a et b pour limites. De même ba sera la limite des produits

et comme on a constamment

on en conclut qu'on a aussi, à la limite, ob = ba.

SUR l'équatiox du second degré.

(Page 1,^0.)

Lorsque a est très-petit, le numérateur et le dénominateur de la formule (i) sont très-peu différents de zéro; de sorte que, si l'on veut obtenir la racine correspondante avec une certaine approximation, il devient nécessaire de cal-

(*) La limite d'une grandeur variable est une grandeur fixe dont la première approche continuellement de manière à on différer d'aussi peu qu'on voudra.

(** ) Le nombre ou rapport commensurable est encore nommé rationnel. L'étymologie de ce mot ne pouvant en donner qu'une idée fausse, nous croyons devoir transcrire ici une Note de M. Terquem. {Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, mars iSoG.)

« On trouve dans Kepler {Harmonies mundi, p. lo, édit. de iCfi)) un point de philologie mathématique qui éclaircit une expression de sens assez louche. Les Grecs distin[;uaient deux sortes de rapports : les uns exprimables, etf'ables, xô';ci; les autres non exprimables, inejjables, àxo'; oi. Or le mot xô')oç a deux acceptions : parole /verbum^ et raison {ratio'). Au lieu de prendre la première, les Latins, en traduisant, ont pris la deuxième : de là le rapport rationnel et le rapport irrationnel, ce qui n'a pas de sens; tandis que l'expression exacte est rapport exprimable ou rapport inexprimable. Cette observation de Kepler est d'une grande justesse. »

SUR l'équatio' du second degré. 6h

culer ses deux termes avec un grand nombre de chiffres décimaux. La formule (3) n'offre pas le même inconvénient, mais on peut profiter de ce que x'

diffère alors très-peu de j pour en obtenir des valeurs de plus en plus approchées.

En effet, si 1 on pose « = -, on pourra écrire

Y désignant une quantité très-petite. En portant cette valeur dans l'équation proposée aar'-r- bx = c, on aura

équation qui déterminera la valeur A&j. En développant et remarquant que h«. — c = 0, on aura

(3) aj'^{b -T-ia(/.^y ■= — av'.

Cette équation étant dans le même cas que la première, sa plus petite racine

devra très-peu différer de — ■; '■ et même de -^' Posons donc

b -^ 2ayi b

et remplaçons j' par cette valeur dans l'équation (3), nous aurons, toutes réductions faites,

(4) az^-.-(2al3 -^ -iaa. -h b)z =^ — (a/3'-f- laa.^).

On obtiendra une valeur très-approchée de la plus petite racine de cette

équation en prenant la Iraction ■ ■ — ; ; mais, comme a /s' est beau-

•2a^-T-2ac/.-^b

coup moindre que jav.^î, et 2 a jS -';- 2 a cf. beaucoup moindre que b, on pourra

prendre

pour valeur approchée de z ; et ainsi de suite.

En s'arrètant là, on aura pour x' la valeur approchée

et, en remplaçant a et /3 par leurs valeurs,

b b' ■ b' La racine x' étant calculée, l'autre s'obtiendra par la formule

6l2 KOTE lY.

DÉVELOPPEMENT DE { a -h b \J — I )". (Pa;je 242.)

Pour obtenir (« -r- bsf—i)"', il faut changer, dans la formule

( « -i- ô l" = a™ -t- mw"—' 0 H «"■" " o-

b en b y/— I, ce qui donnera, en se rappelant que les diverses puissances de y/ — 1 sont périodiquement (+ ^—i, — •> — V~') -^'/'

(a-i-bJ — i) — a-" -i- ma"'-^ b \J — i a'" 'b

'n{m — i)iin — 7)j — -

'b'sj—i

ou, en réunissant les termes réels et les termes imaginaires, et mettant y'^ en facteur commun.

m{m — i)(to — 2)(m — 3) ,„4r«

ma'"—' b ■ a">—^b'

On voit que la partie réelle est composée des termes de rang impair du développement de (fi -i-b)'", pris alternativement avec le signe -h et le signe —, et que le polynôme qui multiplie ^ — i se compose de la même manière avec les termes de rang pair.