SUR LA BASE DES LOGARITHMES NÉPÉRIENS

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1 . On peut encore démontrer que e est la limite vers laquelle tend ( iH — j à mesure que m prend des valeurs de plus en plus grandes.

SUR LA BASE DES LOGARITHMES NÉPÉRIENS. 6l3

En effet, supposons d'abord m entier et positif; nous aurons, d'après la formule (lu binôme,

Posons

\ w; / \ lu I \ m J

" ~" "" 1.2 I.-2.6 ■■■ 1.2..i...rt

il en résultera

d'où

Donnons d'abord à n une valeur constante et faisons croître rn indéfiniment. Si l'on compare terme à terme les expressions de S„ et S„, on voit que ces deux quantités diffèrent de moins en moins et que la limite de leur différence est zéro ; donc on aura

lini('n--!-y'' = lim(R'„ — R„).

Or, si maintenant on fait croître n indéfiniment, on sait que R„ a pour limite zéro, puisque la série e est convergente; d'un autre côté, les termes de R„ sont respectivement moindres que les termes de même rang de R„ Donc R„ est

6l4 NOTE IV.

moindre que R„ et a c.ialenient zéro pour limite. Donc on aura

li.n(.-;;^)'"=e;

ce qu'il fallait trouver.

2. Nous avons fait varier m en faisant passer cette quantité par des valeurs entières. Je dis maintenant que, si m tend vers l'infini en prenant des valeurs

Iractionnaires, ( iH 1 aura aussi e pour limite.

En eRet, désignons par A le plus grand nombre entier contenu dans m; nous aurons

(■-x^)*<(.^,^r<(-ir'-

inégalités que l'on peut encore écrire

Or, lorsque h tend vers l'infini, on a

d'ailleurs

donc le premier et le dernier membre des inégalités précédentes ont pour

limite e. Donc I iH ) i qui est toujours compris entre ces deux quantités,

a aussi e pour limite. ,

3. Supposons en dernier lieu m négatif et mettons le signe en évidence. On a

et l'on voit aisément que le dernier membre a pour limite e,

4. On peut se demander vers quelle limite converge I i -t j • P.ir des raisonnements analogues à ceux que nous venons de faire, on trouverait

hniln-— =- H 1 : ô-*--'-;

DES FONCTIONS DÉRIVÉES. 6l^

d'un autre côté on a

et, par suite,

lim 1 I -i- — ) = e^ .

La comparaison de ces deux résultats donne ce théorème important