DÉRIVÉES

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Notions préliminaires,

1. Une quantité Tariable^' est dite fonction d'une autre quantité variable x, toutes les fois que chaque valeur de 7 dépend, d'après une loi quelconque, de la valeur attribuée à x. Ainsi, dans les exemples suivants :

3x -h-/ •^ ' ^ Jar-f-4 -^

jr est une fonction de x.

1. Une fonction est explicite lorsqu'on indique les opérations qu'il faut effectuer sur la variable dont elle dépend, comme cela a lieu dans les exemples qui précèdent. La fonction est implicite lorsqu'elle est liée à sa varii\ble par une équation non résolue, ou même par quelque condition qui n'est pas encore exprimée par une équation. Ainsi, x etj étant liés l'un à l'autre par l'équation

3/* — !\xy -T- bx^^^ 2!^,

y sera une fonction implicite de x. On la rendrait explicite en résolvant cette équation par rapport s^jr.

3. Une fonction explicite ou implicite d'une seule variable x s'indique par une des lettres /, çs, ^, F, . . ., suivie de la lettre x que l'on place entre parenthèses, comme /(j:), F(ar), çj(a:},.... Les lettres y, F,..., que nous nommerons des caractéristiques, désignent donc un certain ensemble d'opérations à effectuer sur la variable x. Des fonctions de formes différentes s'exprimeront a l'aide de caractéristiques différentes.

6l6 NOTE V.

Ces notations sont tics-commodes pour indiquer le résultat de la substitution d'un nombre à la place de x. 11 suffira de mettre à la place de x dans/(j:) le nombre particulier que l'on a en vue. Par exemple, si l'on pose

f{x)— 5jr°-— 3.r-i-4, on aura

k. Si l'on a y =:/(x), on peut considérer x comme fonction de j- et poser

Les deux fonctions/" et -^ sont dites inverses. Dans le premier cas, x est appelé la variable indépendante et^- la variable fonction. C'est le contraire dans le second cas.

5. Une fonction est entière, fractionnaire, irrationnelle, suivant la nature des opérations qu'elle comporte.

Elle sera algébrique si elle n'exige pas d'autres opérations que l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation à de certaines puissances ou l'extraction de certaines racines; ou bien encore, lorsqu'elle sera donnée par une équation algébrique non résolue,

La fonction sera transcendante si elle renferme des logarithmes, des sinus, etc., en un mot, si elle dépend d'opérations que l'on ne puisse ramener à des opérations algébriques.

6. Une variable est dite fonction de plusieurs autres variables lorsque sa valeur dépend de celles que l'on attribue à ces dernières. Par exemple, si l'on a

zz:^ 3x- -i- 2 .r K -h 5,

z sera dit une fonction de x et de y, ce qu'on est convenu d'exprimer de la ma nière suivante :

Les fonctions de plusieurs variables se distinguent comme les fonctions d'une seule variable en explicites et implicites, algébriques et transcendantes, etc.

7. Lorsque^ est une fonction d'une variable u, tandis que celle-ci est fonction d'une variable x, on dit que^ est une fonction de fonction dex.

En posant

la dépendance qui existe entre j- et x pourra s'exprimer par la notation

On peut supposer de même que^' dépende de x par l'intermédiaire de plusieurs fonctions, comme si, par exemple, on avait

^-/Ipii^C-^-)]'

8. Une fonction est dite composée lorsque sa valeur dépend de celles de plusieurs variables qui sont elles-mêmes des fonctions d'une ou de plusieurs variables : comme si l'on avait

-=/(«."). u = o{x,y), v-== ■ij{x,j).

La liaison qui existe entre s et les variables indépendantes x qX j peut s'exprimer, dans cet exemple, à l'aide de la notation

9. L'Algèbre n'est, à proprement parler, que l'étude des fonctions. Dans l'Algèbre élémentaire, on s'occupe principalement des fonctions explicites, en faisant abstraction des valeurs particulières des nombres sur lesquels les opérations doivent s'exécuter. Dans l'Algèbre supérieure, généralisant de plus en plus, on étudie les propriétés des fonctions indépendamment de leur forme, c'est-à-dire indépendamment de la nature et du nombre des opérations qu'elles comprennent. C'est ce que la suite de cette Note achèvera de mettre en évidence.

Développement d'une fonction entière f{x) suivant les puissances croissantes de h quand on remplace x par x -+- h.