Soit

/(x) = Kx'"^ A, x"^' -+- A. x""-'-^. . .-H A„, x -f- A„

une fonction entière de x, et proposons-nous de trouver ce qu'elle devient lorsqu'on remplace x par x-\-h.

On aura d'abord, d'après les notations adoptées,

et il est clair que le développement sera du m''^"^ degré par rapport à /;. On pourra donc poser

/(x-hA; = P-i-P, k-r-VJl---^ P, P-v-...-r-P„A'",

P, P,, P.,..., P„, étant des fonctions de x, dont il reste à déterminer la forme. On trouve, en prenant dans le développement les termes indépendants de h,

P ^^ A x"' -4- A, a:"'"' -i- . . . -;- A„, c'est-à-dire

ce qui doit être, puisque /"(:r -i- A) doit évidemment se réduire à /"(x) lorsque A = o.

En groupant les termes qui contiennent h en facteur, on obtient

P, = inkx"'~^~\- [m — i) A, x'^-'i- (m — 2) A.x"'"'-;-. . .,

polynôme dont chaque terme se déduit du terme correspondant de f{x) en multipliant ce terme par l'exposant de x, et diminuant cet exposant d'une unité. Nous conviendrons d'appeler dérivée d'une fonction f(x) et de désigner

6l8 NOTE V.

par/'(x) tout polynôme qui se déduira dc/{x), d'après la loi dont nous venons de parler. Nous poserons donc

On trouve ensuite

m(w— i)Ax"~'-t-f/w — 0(ffi— 2)A, x'^'

Or, si l'on compare le numérateur de cette expression à/'(j.), on voit qu'il se déduit de /'(x) d'après la même loi que/'(x) se déduit de/(j:). Ce numérateur sera donc la dérivée de /'{x) oti la dérivée de la déiivce de/(x). Nous l'appellerons dérivée seconde de J\x), et nous le désignerons pary"(x); en sorte qu'on aura

On verra de même que, si l'on désigne par /'"(j-) la dérivée première def"(x) ou la dérivée troisième de /(x), pary~"(a:) la dérivée quatrième, et ainsi de =àuite, on aura

Le développement demandé sera donc

i .î. ..^rn — I j 1 . 2 . . . /rt

On remarquera que la dérivée première est du degré m — i par rapport à x; la dérivée seconde du degré m — 2,. . .. Hn sorte que la dérivée m""'" sera du degré m — m ou zéro, et se réduira à la constante m{m — i). . .3.2. lA. .

11. Comme f{x-\-h) est symétrique par rapport à a: et à A, c'est-à-dire ne change pas lorsque l'on change x en h et h en x, on aura également

si l'on suppose A =^ 0, cette formule devient

/(a-) = /(o) + xf {0) -f- X'- ^ -I- . . . ,

en sortp qu'on pourra écrire une fonction lorsque l'on connaîtra les valeurs de cette fonction et de ses dérivées pour x ^= 0.

12. Si l'on voulait développer une fonction entière suivant les puissances du binôme .r — a, on y parviendrait très-simplement de la manière suivante. Ou a identiquement

Donc, en considérant x — a comme un seul terme,

La dérivée d'une fonction quelconque est la limite vers laquelle tend le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable lorsque ce~ lui-ci tend vers zéro.