De la formule

f{x + h) = f{x)-^hf'{x)^h'--L-^ + h'l-^^...

on tire

On voit donc que le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement h de sa variable se compose de la dérivée f {x), et de termes contenant tous h en facteur, termes qui disparaîtraient si l'on supposait h égal à zéro. f'{x) est donc la limite vers laquelle tend le rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable quand celui-ci tend vers zéro.

Cette propriété dont jouit la dérivée d'une fonction entière sera prise désormais par nous comme définition de la dérivée d'une fonction quelle qu'elle soit. Ainsi, f{x) désignant une fonction quelconque, nous poserons

/-,. N ,• f{x-^h)-f{x) f'{x) = hm -^^ j^ — — ' pour Ii — o.

14. Nous continuerons à représenter la dérivée d'une fonction f{x) par/' (a:). Lorsque la fonction sera désignée par une seule lettre, la dérivée s'indiquera par la même lettre affectée d'un accent. Enfin quelquefois nous nous servirons de la lettre d suivie de la fonction. D'après cela on aura

dérivée de /{x) ^^ f'{^) = df(x), dérivée de j- = j' — dj'.

Le lecteur devra bien se pénétrer du sens de ces notations, dont chacune présente quelque avantage spécial, et entre lesquelles on choisira suivant la nature de la question.

15. Lorsqu'une fonction renferme plusieurs variables, nous appellerons dérivée partielle, par rapport à une de ces variables, la dérivée qu'on obtient en considérant toutes les autres variables comme constantes. Si l'on a

les dérivées partielles de z s'exprimeront par

d^z, d^z, ou f^{x,j), f^{x,y).

16. Les dérivées successives d'une fonction d'une seule variable se désigne-

ront par

r', J", j'",--., /'(-r), /"(-r), /'"{x),..., dy, (Py, 'l'y,....

Pour les fonctions de plusieurs variables,

dltz, <V^r, d^,z, ou

/"ti^yj'l^ f'yi^^yjr), f^i{l,r)

représenteront les dérivées de z ou de f{x, y) prises deux fois de suite par rapport à X, ou d'abord par rapport à x, et ensuite par rapport à j. On exprimera d'une manière analogue une plus lon[,'ue suite de dérivations.

Enfin nous nous servirons fréquemment de la caractéristique A placée devant une variable pour indiquer un accroissement indéterminé attribué à cette variable.

Dérivée d'une fonction de fonction,