Soient

j^/{u), u=zo{x),

et proposons-nous d'obtenir la dérivée de j par rapport à x.

Soient àj et A« les accroissements des fonctions y et n correspondant à un accroissement arbitraire àx attribué à la variable indépendante.

Le problème revient à trouver la limite vers laquelle tend le rapport — quand

Aj." tend vers zéro. Or on a identiquement

Ajr A^ A?<^ Ax Am Ax Donc

lim — ^ lim • — • lim

Ax Au Ax

Mais les accroissements A^-, lu, Ax étant nuls en même temps, on aura

lim- — = y , lim- — ^=f'[u), hm — =a'fxj. Ax -^ ' Ah -^ ^ ^' AX '^ '' ^

Donc

Ainsi l'on obtient la dérivée d'une fonction de fonction en prenant la dérivée de chaque fonction par rapport à la variable dont cette fonction dépend immédiatement, et en multipliant ces dérivées entre elles.

On trouverait une règle analogue pour des cas plus compliqués. Par exemple, si l'on avait

r =/("). «=?('')» ^—'p{-^)f on aurait

18. L'utilité de la règle que nous venons d'établir tient surtout à ce qu'elle permet d'éviter de longues substitutions. Par exemple, si l'on avait à prendre

la dérivée de la fonction

qui revient à

au'" -J- bu'' , en posant

u =. ux"-— fi, on trouverait

j' = {mau"'~' -f- pbiiP-^) u' = [ w« ( a.c -+- fi )"""' -1- pb{v.x'' ■+- ^5)P-']/z a.r""'.

On serait arrivé à un résultat bien plus compliqué si l'on avait développé les calculs indiqués dans la valeur de^-.

Règles pour trouver la dérivée d'une somme, d'un produit, d'une puissance, d'un quotient de plusieurs fonctions dont les dérivées sont connues.

19. Dérivée d'une somme. — SoM y =^ u ^r- v -h z une somme algébrique de plusieurs fonctions de la même variable; nommons Aj)', A«, Ac, Az les accroissements simultanés de ces fonctions, c'est-à-dire ceux qui répondent à un même accroissement \x de la variable indépendante. On aura

A.v = A?i -T- A»» -H Az, d'où

Aj' A^^ Ae i\z

Ax \x Ax Ax

et, si l'on fait tendre Ax vers zéro, on aura, à la limite,

Ainsi la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions,

20. Dérivée d'un produit. — 1° Considérons d'abord le produit

j- = au, a étant une constante et u une fonction de .r; on aura Ax ^= a{^u ■+- A-'/) — au = a Au,

d'où

Ar A M A.c Ax

et, en passant à la limite,

j'= au'.

Donc la dérivée du produit d'une Jonction par un facteur constant est égale au produit de la dérivée de cette fonction par le facteur constant. 2° Soit un produit de deux fonctions

y r= uv,

on aura

Aj =^ {u -i- Au) [v -^ Av ) — uv :^ u Au -r V Au -\- Au Av,

d'où

Av Al' Su , jiv

A^ A.C Aj: A.c

etj en passant à la limite,

y' ■=^ liv'-r- vu' ;

car le terme Au — ? produit de deux facteurs, dont 1 un tend vers zéro et A.r

l'autre vers une limite eu général finie f', a pour limite zéfo.

3° Soit un produit de trois fonctions j- =^ uvz.

Si l'on considère m'z comme le produit de uv par -, on aura, d'après la rèjjle relative à deux facteurs,