uvz' -^{^uv)' z

en désignant par (««*)' la dérivée de uv, et comme {uv)' = uv' -^ vu' on aura

jr'=^ uvz' -~- uzv' -h vzu',

d'où l'on est porté à conclure cette règle générale :

La dérivée d'un produit de plusieurs fonctions est égale à la somme des dérivées que l'on obtient en considérant tour à tour chaque facteur comme seul variable.

On démontrerait aisément que cette loi s'applique à tous les cas en faisant voir que, si elle est vraie pour un produit de m facteurs, elle le sera encore pour un produit de tk-hi facteurs.

11 est bon de remarquer que la dérivée du produit

y ^= uvzt . . . ù) peut se mettre sous la forme

d'où

\ u V Ctt /

Ainsi la dérivée d'un produit, divisée par ce produit, est égale à la somme des quotients que Von obtient en divisant la dérivée de chaque facteur par ce facteur.

21. Dérivée d'une puissance. — 1° Soit d'abord m entier et positif. Si, dans la formule

on suppose les facteurs u, v,..., o égaux entre eux et au nombre de m, on aura

j' ^z.iC' m — ) ou y'z^mu 'u.

Ainsi la dérivée d'une puissance entière d'une fonction s'obtient en multipliant cette fonction par l'exposant et par la dérivée de la fonction, et en diminuant l'exposant d'une unité.

DES FONCTIONS DÉRIVÉES. 6l3

2° Soit r = u" une puissance fraclionnaire et positive d'une foiiclion u, on aura

et prenant, d'après la règle précédente, la dérivée des deux membres qui sont des puissances entières, on aura

d'où

^ mu u m u u

et enfin

formule qui est comprise dans la formule r' = mu"' '«', en chanf;cant m en — •

30 Soit

on tire de cette équation, en multipliant les deux membres par u'",

ru"'=i I.

Prenant la dérivée de chaque membre, on obtient

j' lim i niju""^^ u' =^ 0,

d'où

^' = — tnr u\

et, après réduction,

^'= — mu~"'~' u',

résultat qui rentre dans la formule donnée pour le cas d'un exposant entier et positif.

Ainsi, dans tous les cas, on auia

du'" :^ mu"'~' u' .

Remarque. — Si m^^ -■, on auia

du^ = — u ^ u',

ou, revenant aux notations ordinaires,

d\fu — ^•

Ainsi la dérivée de la racine carrée d'une fonction est égale à la dérivée de cette fonction divisée par le double du radical.