Dérivée de cosx
y := cosx,
. Ax sin —
^ ^ cos(x-f-Ax)-cosx ^ ^.^ fj.^^]
Ax V 2 / Ax
hm — =r =— sinx.
Ax
On pouvait arriver à la même conclusion en partant de la définition de cosx et en appliquant la règle des fonctions de fonction, comme il suit :
cosx = sin(90° — x), dcosx— cos{Qi)°—x)xd{QO<>-x) — &mxX — l^— sinx.
Mg. B. 4o
VG. Dérivée de tangx. — On a
sinx
donc, d'après la règle des quotients,
cosxrfsinx — sinxdfcos.T cos*.rH- sin'x
d tanfî^ = 1 = ; '
" cos'j: cus'.r
ou enfin
rt tanffx = — •
cos'u:
27. Dérivée des autres fonctions directes. — En partant des relations
cotj; ^= 1 séca- = > cosécjr = -^ — •>
sina; cosu; sm.r
et en appliquant les règles données dans les paragraphes précédents, on trouvera sans peine
d coix ■= ; 1
sur j;
, . sin.r
dsecx =rr = tang.r secr,
cas- -t
coso:
d cosecx z=z - 7= — cot j: coscc x.
siii- x
28. Dérivée des fonctions circulaires inverses. — Si l'on a l'équation
'et que l'on en tire
les deux fonctions y et jj sont ce que nous sommes convenus d'appeler des fonctions inverses.
11 existe, entre les dérivées de deux fonctions inverses, une relation trèssimple, qui consiste en ce que leur produit est égal à l'unité.
En effet, on a
/'(j:) = lim^, o'(j>')==lim— ;
donc
f'(x) f'(r) = lim — lim — == lim ( -^ — =
D'après ce théorème, des formules
y =r. sinx, dy = cosx,
r = cosx, </?' = — sinjr,
r = tang.r, dy = r—
" -^ cos'x
on tirera tour à tour
</arcsiny ^=3 • r=: ±
COSA- \/i—j'
darc cos r ■-= : = q= ,
<^arc tangx = co%°x-
On obtiendrait avec la môme facilité les dérivées des autres fonctions inverses ; nous ne les donnons pas, parce qu'elles sont peu usitées et qu'on peut toujours les éviter.
Le lecteur pourra s'exercer sur les exemples suivants :
sinrtx, cosa.r, arcsinaj:, sin'"a.r, cos^ax, sin'"x cos^x, cosx(2 sin'x-f- 3 sinx), cosx(3 sin*x — !\ sin'x).
Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. 59. Dérivées des Jonctions exponentielles. — 1° Soit
e étant la base des logarithmes népériens ou la valeur do la série
I 1.2 I .2. j On aura
A^=eJ:+Ax — e* = e'=(eAJ^ — i), —— = e*
si l'on pose
ei-r — I =; - 1
d'où
eA^= , A.r ^ <• )
on aura, en désignant par l. les logarithmes népériens.
ryJ.l^H^ l.
Or, lorsque Aor tend vers zéro, a tend vers l'infini, et /. I i -4- - j vers l.e
ou I.
Donc
Ainsi la fonction e' jouit de la propriété d'être égale à sa dérivée. On aurait pu arriver à la môme conclusion en se rappelant que e' a pour
valeur la scric convergente
7° Soit
y -^ a", on a identiquement
n = :;'•«, et par suite y =^ <;'■«■»■.
Donc, d'après la règle des fonctions de fonction,
r' ■= l.aet"-^ ^= a^ La,
30, Dérivée de logx, — Soient^' — loga-, et a la base du système; on aura
et par conséquent, d'après le principe des fonctions inverses,
axi.a ~ xl.a On aura donc
^ ^ xl.a'
ou bien encore, si l'on remarque que
loge on aura
jr'— rflogx= ,
loge désignant le logarithme de la base népérienne dans le système considéré. On peut aussi obtenir directement la dérivée de log.r. On a, en efiet,
Ar = log(a--4- \x)— logx = logf H ^ j,
Aj: X X
Or, à la limite (Note IV), le numérateur de cette expression tend vers logr. Donc, etc.
Théorèmes généraux sur les dérivées.
31. TiiÉor>F.ME 1. — Une fonction est croissante ou décroissante suivant que sa dérivée est positive ou négative.
Soit/ la fonction considérée : puisqu'on a
lim — ~ y t A.r -^ '
on peut écrire
Ar
Ax ■'
e étant une quantité qui devient nulle en même temps que A^, et qui, par conséquent, sera très-petite lorsque l'accroissement Ax sera lui-même très-petit.
II résulte di! là que, si la dérivée y' est différente de zéro, on pourra supposer àx assez petit pour que : soit, en valeur absolue, moindre quej>', et, par
conséquent, — ^ finira par être de même signe que^-'. Par suite, si la dérivée
est positive et que àx soit positif, il en sera de même de Aj; et si la dérivée est négative, au contraire, Ar sera négatif lorsque Ax sera positif.
Or supposer que Ax soit positif, c'est admettre que la variable croisse. Donc la fonction croitra ou décroîtra, lorsque la variable sera croissante, selon que la dérivée sera positive ou négative; ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. — Il résulte de là que, si la dérivée d'une fonction f{x) est nulle pour une valeur a de ;r, et présente des signes contraires pour des valeurs de x un peu supérieures et un peu inférieures à a, la fonction aura un maximum ou un minimum correspondant à la valeur x ^= a.
En effet, si f'(x) est positive pour les valeurs de x comprises entre a — A et a, et négative pour les valeurs de x comprises entre ael a-i-fi, h désignant une quanliti'î positive très-petite, on voit que, si l'on fait varier x d'une manière continue depuis a — h jusqu'à a -+- h, la fonction f{x), d'abord croissante depuis x:= a — h jusqu'à x = a, deviendra ensuite décroissante de -c =; a à x ^= a-hh. Doncy(a) sera sa plus grande valeur.
On venait de même que f{a) serait un minimum si la dérivée, en s'annulant, passait du négatif au positif.
Exemple. — 1°
;-^=sinj:, ^-'=cosa-;
cos.r est positif quand x varie de zéro à — ; donc sin.z' croît dans cet intervalle.
Celte dérivée est nulle pour j:= -, et cban-e de signe quand x passe de -
à - -1- /i: donc bin- est un maximum : ce qui s'accorde avec ce que nous sa- 2 i
vons de cette fonction.
jO jz=x{-2a — x), )'=!'> a — 2X;
la dérivée v' est positive de x — o h x — a, nulle pour x = a, négative de j: = a A X =- 2 a.
Par conséquent, le produit x{2a — x) croît dans le premier intervalle et décroit dans le second. 11 est donc maximum pour x =: a, ce qui s'accorde avec le théorème démontré (n° 107).
32. Théorème 11. — La dérivée d'une fonction ne peut pas être constamment nulle.
Supposons quej>- soit une fonction de x dont la dérivée 7' soit constamment nulle. Soient
63o KOTE V.
Il valeurs croissantes de In variable, et
les valeurs correspondantes de la fonction. Puisque la dérivée de y est nulle, les rapports
JTj — J-, j', — .r. a„ — -^n— 1
doivent être très-petits, si les valeurs successives de x sont assez rapprochées. Nommant c le plus grand de ces rapports, on aura en valeur absolufl
d'où, en ajoutant membre à membre,
Mais si, laissant constantes les valeurs extrêmes Jc^ et .r„, on rend de plus en plus nombreuses lesvaleurs intermédiaires, s, et par suite s{x„ — jr, ), pourront devenir plus petits que toute quantité donnée. Donc 7'„ — j, est moindre que toute quantité donnée, c'est-à-dire nulle. Donc
Ainsi deux valeurs quelconques de;- sont égales. Donc^' ne dépend jjas de x et ne peut être qu'une constante; ce qu'il fallait démontrer.
Il résulte encore de là que, si la déi ivée d'une fonction est toujours très-petite entre deux limites Jonnées, la fonction doit différer très-peu d'une constante entre ces limites.
Exemple.
La dérivée est très-petite quand x est très-grand. Donc alors j' diffère très-peu d'une constante : ce que montre d'ailleurs la simple inspection de la fonction.
33. Théorème III. — Deux fonctions qui ont la même dérivée ne peuvent différer que par une constante.
Il est d'abord évident que deux fonctions égales doivent avoir la même dérivée. Deux fonctions qui ne diffèrent que par une constante, ayant des accroissements cjaux, ont aussi des dérivées égales.
Je dis que réciproquement si deux fonctions u et v ont des dérivées égales, elles ne peuvent différer que par une constante.
Soit donc
u' — c' = o, et posons
En prenant la déri?ée des deux membres de cette égalité, on aura h'— v'^f, ou, à cause de l'hypothèse u' — c' — o,
Ainsi la différence des deux fonctions a une dérivée nulle; donc cette différence est une constante.
34. Problème. — Revenir de la dérivée à la fonction primitive, dans le cas où cette opération peut se faite immédiatement.
Le problème qui a pour but de trouver une fonction dont on connaît la dérivée offre, en général, d'assez grandes difficultés; mais il sera facile à résoudre si l'on se donne quelques-unes des fonctions que nous avons obtenues par l'application des règles établies dans les paragraphes précédents.
Ainsi nous avons trouvé
dx'"=^mx"' *, d'où d ^j.-"»;
donc la fonction primitive de x"' est -^ 1- c.
c désigne ici une constante arbitraire, que nous devons ajouter, d'après le théorème 111, à la fonction j si nous voulons obtenir la fonction la plus sé-
A« -î- I ru
nérale qui ait pour dérivée j;".
De même, de ce que les dérivées des fonctions
e', tx, sinx, cosx, taiigx sont
e^, x~*, cos.r, — sinjr, see'x,
nous en concluons que les fonctions primitives de
e^, x~\ cosjT, s'inx, séc-ù." sont respectivement
e' -f- c, /x-4-c, sinx -h c, — cosjr-i-e, tangx -i- c.
On trouverait avec la même facilité les fonctions primitives d'expressions dans lesquelles les fonctions simples, dont nous venons de parler, entreraient par voie d'addition ou de soustraction, avec des coefficients constants.
35. Problème. — Connaissant les dérivées de plusieurs fonctions, trouver la dérivée d'une fonction composée de ces fonctions.
Soit j' =f{u, v) une fonction composée de deux fonctions de x, u et v. Appelons U et V les dérivées partielles de ^- par rapport auetav; on aura
(i) f{u-j-diU, v) — f'u, r) — Uù«-^ a A«,
(2) /(h, v-r-\v)—f{u, f)= VAf -f-/3Ar,
y. et ^ désignant des fonctions de k et de f qui s'évanouissent en même temps que Am et \v.
L'égalité (i), par le changement de c en c -f- Ai', prend la forme
(3) /("-+- i^Wj *" -+- Ac' — /(", *" ■+- Af) = U, A;/ -+- rt, A«,
U, et a, désignant ce que deviennent U et a par cette substitution. Si l'on ajoute (i) et (3), on aura, après réduction,
/(« -f- Ah, f-+- Af) — f(u, *»)= ^x = 'VA«'-<-U, Au -h v.^ Au -+- /3 Af ,
d'oVi
... Ar ^, Al- „ Aw An Ac
Si maintenant l'on suppose Ax é^al h zéro, les quantités
Ar ,, A« Al'
-^î U,, — 5 — , a,, /3 Ax ' Ax Ax " ^
atteindront leurs limites respectives
et l'égalité (4) deviendra
j>-'=U«'-f- Vf'.
Or Uh' est la dérivée que l'on obtiendrait en considérant, dans f(n, v), V comme constante et u comme seule variable; une remarque analogue s'applique à Vc'. De là cette règle :
La dérivée d'une fonction composée de deux fonctions est égale à la somme des dérivées partielles obtenues en considérant tour à tour chacune des fonctions composantes comme seule variable.
Ce théorème s'étendrait, par une analyse semblable, à une fonction composée d'un nombre quelconque de fonctions. La règle relative à la dérivée d'un produit peut en être regardée comme un corollaire.
36. Problême. — Trouver la dérivée d'une fonction implicite. Désignons par^ une fonction implicite de x, donnée par l'équation
si nous supposons que^ ait été remplacé dans f(x,r) par sa valeur en fonction de X, f{x,j) sera identiquement nulle, ainsi que sa dérivée. On aura donc
'if(.x,j)^o,
et, en appliquant la règle des fonctions composées.
d'oii
f.ri^,J') , X
fy C^-, J) ^
en posant, pour abréger,
a} y' -f- b' x' z^ a}b' \ X — ib'^x, Y =; ■ia.^jr.
Exemple.
par suite
Application de la théorie des dérivées aux développements de l.{i->r x) et de arc tnngx en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de X, lorsque cette variable reste comprise entre — i et ~\-i.
37. Théorème. — Lorsque la dérivée d'une fonction peut être développée en série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable, il en est de même de la fonction proposée.
Nous ne démontrerons ce théorème que dans le cas où la série qui représente la dérivée a ses termes de même signe, et dans celui où cette série a ses termes alternativement positifs et négatifs.
Soit/(x) la fonction proposée, et supposons que sa fonction dérivée /'(ar) puisse être représentée, au moins entre certaines limites, par la série
posons
A, JT -;- A , jr' -+■ A, a.'
^{xj=A„x-i-——--^~~-
Je dis que cette nouvelle série, qui a éjalement pour dérivée f'{,^), est convergente entre les mêmes limites de la variable.
En effet le terme général de la seconde série peut s'éci ire
et l'on voit que, lorsque « -t-i est supérieur à x, il est moindre que le terme qui occupe le même rang dans f'{x). Donc les termes de la série &(-r) finissent par être moindres que ceux de la série /'(x), et puisque celle-ci est convergente, il en est de même de l'autre, à plus forte raison.
En effet, i° si la série f'{x) a ses termes de même signe, la valeur numérique de p{x) sera inférieure à celle de f'[x), et par conséquent sera une quantité finie; 2° si les termes de la série /'(jr) ont alternativement le signe -tet le signe — , ces termes devront décroître indéfiniment pour que la série f'{x) soit convergente, et cette condition de convergence sera évidemment satisfaite par la série f^ix).
Maintenant /(j:) et <i>{x), ayant la même dérivée, ne peuvent différer que par une constante. Donc
/(j;) = C-+- ^{x) = c •+-A„JrH ' h. ...
Donc f{x) peut être développée en série convergente; ce qu'il fallait démontrer,
