I -^ .r n ^- z , , , z ;= 5 d ou x

Cette valeur étant moindre que i , les séries (i) et ( 2 ), et par suite celle qu'on en déduit, sont convergentes. On aura donc

/. — = l. :^ = l.(n^z) — i. Il,

et par conséquent

\2n-rZ Ô{2lt -h Z j J

série très-convergente.

41. Exemple. — Supposons qu'on ait à calculer le logarithme népérien de 2 avec sept chiffres exacts. On aura

«=,, z=r, l.n=.o, et /. a = | + ^ + ^ +. . . .

Les termes de cette série décroissent plus rapidement que ceux d'une progression géométrique dont la raison serait égale à -• Il suit de là que, si l'on s'arrête à un terme a, l'erreur commise sera moindre que

Or on trouve que le huitième terme de la série est moindre que — r- Il suf- ^ lo'

fira donc do calculer les huit premiers termes de la série avec huit chiffres

exacts: leur somme donnera la valeur du logarithme de 2 à moins d une unité

du huitième ordre.

z Un nombre Lien moins grand de termes sera nécessaire si le rapport — est

Ircs-pelit, et l'on démontrera facilement que le premier terme de la série sera

suffisant, pour caloiler la différence des deux logarithmes avec sept chiffrés

exacts, lorsqu on aura — < - — • ( ).

42. Calcul des logarithmes vulgaires. — Valeur du module. — Ce que nous venons de dire s'applique aux logarithmes népériens. Quant aux logarithmes vulgaires, comme ils ne diffèrent des précédents que par le facteur constant qu'on nomme le module, il est clair qu'en représentant ce module par M, on aura

log(n-Hz) — log« =^ 2M h-:^. — ^- Ci-^-- I*

M une fois calculé, on pourra donc se passer des logarithmes népériens. Or on a

/. 10 L-i^t~l.b On trouve, en faisant le calcul,

Calcul du rapport de la circonférence au diamèti e, d'après la série arc tang x.