applications. — i° Soit la suite des carrés
on a
AKo = i, A'«„-=2, A'«|,=^o, A*«|, = o,....
Donc, d'après la formule (i)
u„=^ «j -'r- nAUg-i A'«|, = rt -t- «(« — 1)=; «';
le terme général de la suite est donc «', comme on devait s'y atttendre. D'après la seconde formule, on aura
d'où l'on conclut, puisque les dlfTérences d'un ordre supérieur au second doivent être nulles, que l'on a
quand n est plus grand que 2.
2" Soient
les diflerences premières de cette suite sont
les différences deuxièmes
les différences troisièmes
et les différences d'ordre supérieur sont nulles. On a, dans cet exemple,
et il n'y a pas besoin d'aller plus loin, puisque les différences d'ordre supérieur sont nulles. On aura donc, en remplaçant Au„, A'wo, A'?/„ par leurs valeurs,
et, toute réduction faite,
On retrouve ainsi la formule qui sert à calculer la somme des carrés de la suite naturelle des nombres.
Connaissant les résultats de la substitution de m nombres entiers consécutifs dans une Jonction entière du degré m, on obtient facilement, au moyen des différences, les résultats de la substitution de tous les autres nombres entiers positifs ou négatifs. — Application au cas d'une fonction entière du troisième degré dont on connaît les valeurs correspondant aux valeurs — i , o et -i-i de la variable.
6. Dans ce qui précède, nous n'avons fait aucune hypothèse sur les valeurs des quantités u^, «,, «,, . . .; mais si l'on suppose que les termes de cette suits sont les valeurs consécutives que prend une même fonction, entière et du dejjré m, quand on attribue à x des valeurs en progression par différence, on arrive à ce théorème important :
La différence de l'ordre m d'une fonction entière et du degré m est constante si la différence de la variable est elle-même constante.
Soit, en effet,
u =zf(^x) = Aj.r'"-)- A, .r"""'-*- A, j:'"~'-(-. . .
la fonction considérée; nommons h la différence constante des valeurs consécutives de X, et j:„ la première valeur attribuée à x, on aura
d'où
^u = f{x„ -^ h) — f{x) = mk^x'^-'k -+-
La différence première est donc du degré m — i, et son premier terme s'obtient en multipliant par k la dérivée, prise par rapport à x„, du terme A„x"<).
Pour obtenir la différence seconde, il suffira d'opérer sur Am comme nous venons de le faire sur la fonction elle-même, et l'on aura pour valeur de A'u un polynôme du degré m — 2, dont le premier terme sera
(m — i)mAoJr'^"-^À»; Mg. D. 4l
et ainsi de suite. De sorte que la difierence m'""' sera nécessairement, d'apris
celte loi,
et ne dépendra pas de la valeur initiale attribuée à x.
7. Le théorème que nous venons de démontrer simplifie consiclérablenient le calcul des substitutions dans une fonction entière, lorsque les nombres à substituer l'ormenl une progression arithmétique. Si la fonction est de degré m, il suffira de connaître les résultats de m substitutions. On en déduira /n — i différences premières, m — 2 différences secondes, etc., une différence (m — i)""". Quant aux différences m'""'", qui sont constantes, elles sont données par la
formule
A™ Il =1.2.3.. . mX^h"'.
Ces calculs effectués, on pourra ensuite former les substitutions ultérieures par de simples additions.
Exemple. — Soit
f(^x) = sc* — ^x'-T- 5x — I.
Supposons que les valeurs à substituer soient les termes de la suite naturelle des nombres. Je commence par substituer les nombres — i, 0, -hi, et j'ai le tableau suivant, dans lequel je n"écris d'abord que les nombres qui sont marqués du signe *.
au
Pour continuer ce tableau, je remarque que l'on a
Donc — 2 sera le nombre qu'il faudra écrire au-dessous de — 8 dans la qua trième colonne.
J'aurai ensuite
ùi.u^ =: AKj -•- A' i/o =; 2 — 2=0.
Donc zéro sera le nombre à inscrire au-dessous de 2 dans la troisième colonne. Enfin j'aurai
Donc I est la valeur de 11^ ou de/(2).
On calculera de même /(3), /(/)),.. .. Une opération inverse permettra de prolonger le tableau dans le sens opposé et de calculer /( — 2},/( — 3},. . . .
8. Le théorème démontré au commencement de cet article admet une réciproque, qui consiste eu ce que, si une suite u,,, u^, j/,,. . ., u, admet des diffé-
DES DlFFÉRE?^nES. 643
rences m'*^"-"" constantes, u^, «,, u,,..., «„ sont les valeurs consécntives que prend une fonction du m^'^"" degré quand on y substitue à la variable des valeurs équidistantes.
En effet, le tei-me général de la suite sera, d'après la formule (i\ p. G3r),
n( n — T: . n(ji — T' . . . ( « — ?« -i- 0 m
et le second membre s'arrêtera là, puisque les diHërences d'ordre supérieur sont nulles. On voit donc que les termes donnés sont les valeurs d'une fonction entière de « correspondant aux valeurs o, i, ■>,..., n de cette variable, c'est-à-dire à des valeurs équidistantes.
On remarquera que la difîerence de la progression est i . C'est , en effet, à cette valeur qu'on peut toujours ramener cette différence, puisqu'il est évident que faire x= a, «-f-A,. . ., a-^nh dans f{x) revient à faire x = o, i, a,..., n dans /{a -i- X h).
Formules d'interpolation.
9. Il arrive souvent que l'on connaît les valeurs que prend une fonction de forme inconnue f{x) pour certaines valeurs x„ x,, a:,,. . ., x„,. .., x^ de la variable, et que l'on a besoin de déterminer des valeurs intermédiaires de la fonction. Il est clair que ce problème ne peut pas être résolu dans toute la rigueur mathématique; mais on peut en donner une solution suffisamment appro chée. A cet effet, on déterminera une fonction o{x) qui jouisse de la propriété de prendre les mêmes valeurs que /(x) pour les valeurs x„, x,,. . . , en sorte que l'on ait
Puisque la différence des deux fonctions ç{x) etf(x) est nulle pour xz=x^ et pour X = .T„^.„ si ces deux valeurs ne sont pas éloignées l'une de l'autre, on conçoit que la différence entre p{x) et f{x) ne pourra pas être très-{yande dans l'intervalle. On pourra donc, sans erreur sensible, substituer f{x) à /(a) pour les valeurs comprises entre x„ et .2"„+,. On donne à cette opération le nom d'interpolation.
L'interpolation peut encore s'appliquer à des fonctions connues, mais dont la forme compliquée se prête difficilement au calcul.
Le problème de l'interpolation, tel qu'il vient d'être posé, est nécessairement indéterminé, car on peut, en général, y satisfaire avec une fonction !p{x) de forme donnée, pourvu qu'il entre dans la composition de celle-ci autant de constantes arbitraires qu'on lui impose de conditions.
10. Le problème de l'interpolation cesse d'être indéterminé lorsqu'on assujettit la fonction (i{x) à être entière et d'un degré inférieur d'une unité au nombre des valeurs données de/(x).
Car si deux fonctions entières du degré m, ^{x) et >p{x) pouvaient prendre la même valeur pour m -f- i valeurs .r„, ;c,,. . ., j:^ de la variable, l'équation
qui est au plus du wi""'* degré, admettrait m ■+- 1 racines x„, x^,. . ., x„, ce qui est contraire à un théorème démontré (239).
11. Formule de Lagrange. — La fonction 9(^) étant choisie entière et du degré m, on pourra poser
9>(a:)= Ao^r^-t- A, ^'""•-H A.ar"'~'-t-. ..-•- A^,
et, pour déterminer les m -t- i coefficients inconnus, on aura à rcsoudre le: équations suivantes, qui sont en môme nombre :
AoO."'-)- A,x'"~'-i- AjX™~'-+-. . .->- A„= H,,
Ag .v" H- A, .r™ ■ -H A,x^ ' H-. . .-)- A„ — «„.
Remarquons maintenant que, si l'on tire de ces équations les valeurs de A,, A ... A , chacune de ces inconnues sera exprimée par une fraction dont le dénominateur sera indépendant de ?/„, k,, u.,..., et dont le numérateur renfermera ces quantités au premier degré. Si donc on remplace A„, A,, A,,... par leurs valeurs, on pourra mettre <p{x) sous la forme
X , X„ . . . , X,„ étant des fonctions de x et de .r^, .r,, .r„ . . . , x„^.
Or (f{x) devant se réduire à u^ pour x=^x^, à m, pour x^= x^, . ., on voit que toutes ces conditions seront remplies si l'on choisit la fonction auxiliaire X^
de telle sorte qu'elle s'évanouisse pour x=x^, x,,..., Xi^^, x^^ , x^, et
qu'elle se réduise à l'unité pour x = x^.
D'après cela, la fonction X„, qui est entière et du m"'"' degré, et qui doit s'annuler lorsqu'on y substitue à ^ les m valeurs x^, x^,..., x^, ne peut être que de la forme
X, = B(x — x,)(x— jr,).. .[x — x^),
R désignant une constante ; mais elle doit se réduire à i lorsqu'on y fait x = x^.
Donc on aura
d'oîi, en éliminant B par division,
" {x„ — x,)(Xo — x,)...{x„ — x„)' on trouvera de même
et ainsi de suite.
Donc on aura
(x„ — x,)(x„ — Xj)...(ar„ — x„) " {x — x,){x—x,)...{x — x„) ^^
Cette formule ne suppose aucune relation entre les valeurs x^, a\, .r,, . . , x\„. Ses diflérents termes sont calculables par logarithmes.
12. Formule de Newton. — Cette formule suppose que les valeurs de la variable sont équidistantes.
Nous avons trouvé la formule
«„ = K„ -H « Ah„ -!- —^ -\-u^-^.. -t- A «0-
Posons
X — x^z^ nn, d ou « = ■> n ^= — •
Aux valeurs « =^ o, 1,2,... correspondent, pour x, les valeurs x^, x„-^h=^ x^ x^ -+- 2/1 = x\, et ince versa.
Par suite, la fonction
X — x^ f X — Xg \
jouira de la propriété de se réduire à u^ pour x =: x^, à h, pour x = x^,, , . Ce sera donc la fonction demandée, puisqu'elle est évidemment du degré m.
13. Application de la formule d'interpolation de Newton à la repréxntation exacte d'une fonction entière f{x) du degré m dont on connaît les valeurs u^, //,,..., M„, correspondant aux valeurs de x, x^, x„ -i- k, x„-+- 2k, ..., ar^ -f- mh. Si la différence h et les quantités u^, Ah,,, A'Kq,..., A"';/, sont positives, X -f-(77i — i)A est une limite supérieure des racines positives de l'équation f\x) = o.
Puisque la fonction qu'il s'agit d'interpoler est entière et de degré m, on aura exactement
' ^ I ' fi " i .2.0 ... m
Or quand on substituera dans le second membre un nombre plus grand que ^■^^r,„ ,•) A, tous les coefficients seront positifs. Donc, puisque Au^, A-m„,... sont positives, /{x) sera positive et ne pourra s'annuler pour aucune valeur de X supérieure à x^-+- (m — 1)^.
On démontrera, avec la même facilité, que si «„, Af/,,,. . . ont alternativement le signe -H et le sijnc —, x^ — {m — ï)h est une limite inférieure des racines de îa proposée.
Qf.(j NOTE VII.
APPLICATION DE LA THÉORIE DES DIFFÉRENCES A LA RÉSOLUTION KUJIÉUIQLE des' ÉQUATIONS.
(Page 466.)
Sévaration des racines d'une équation par la substitution de différents norr.brts à l'inconnue. — On dit que les racines d'une équation sont séparées, lorsque l'on connaît, pour chacune d'elles, deux nombres qui la comprennent et qui n'en comprennent pas d'autres.
Pour séparer les racines d'une équation /(.r) := o, on commencera par substituer à la place de x les nombres entiers — 3, — 2, — i, o, i, 2, 3, . . ., en s'aidant des propriétés des diflerences. On prolongera le tableau des substitutions jusqu'à ce que l'on connaisse, à l'aide du théorème démontré à la fin de la Note précédente, que les substitutions ultérieures donneraient des résultats de même signe. Ce premier travail fera donc connaître deux limites de racines réelles, l'une supérieure, l'autre inférieure.
Cela posé, si la suite des valeurs de /{x) présente autant de changements de signe que le degré de l'équation ou la règle des signes de Descartes promettent de racines réelles, on en conclura que, entre deux des nombres conséculifs qui ont donné des résultats de signes contraires, il existe une racine réelle et une seule. La séparation sera effectuée, et l'on connaîtra chacune des racines à moins d'une unité près.
Soit, par exemple, l'équation
f{x) =1 .C*— I !.£■'-+- îSj-'-H !\!\X — 120 = o;
en faisant le tableau des substitutions, d'après la règle donnée (>'ote YI, 7;, on trouve qu'aux nombres
correspondent respectivement les valeurs suivantes de f x) :
Comme il y a quatre changements de signe et que l'équation est du quatrième degré, on en conclut que cette équation a toutes ses racines réelles, savoir : une racine négative comprise entre — 3 et — 2, et trois racines positives dont les parties entières sont respectivement 2, 4, 6. La séparation des racines est donc effectuée.
'2. Etude spéciale du cas d'une équation du troisième degré. — Dans le cas que nous venons de traiter, la substitution de nombres entiers a suffi pour séparer les racines, parce qu'elles étaient toutes réelles et qu'elles différaient entre elles de plus d'une unité. Jlais on comprend qu'il n'en sera pas toujours ainsi et qu'il faudra recourir à des substitutions intermédiaires, soit pour savoir
