Soit

y(x) = :r'-H rtor'-i- (Jx H- c.

Désignons par A, A', A'' lesdifférejices qui correspondent h des accroissements A

donnés à x, et par 0, 6°, 6' celles qui correspondent à des accroissements —

On trouvera d'abord, en faisant le calcul,

A :^ 3 A.c' -:- (3 h- -+- 1 ah) x -^ li*-+- ck^ -\- à':,

Pour oi.tenir c, 0-, 0', il n'y aura qu'à changer k ea — dans ces'formules. On obtiendra, en commençant par la dernière,

luuo et, par conséquent,

^ ' lOJO

^4^ KOTE VII.

La valeur de c' sera

100 \ lu / 100

ou bien

lUU

Ou aura ensuite

10 ' \ 100 ' 10 / ' 1000 ' lOO ' 10

— {3k^x-^ah-j(- -] —h'(- —]

\I0 lOi")/ \lO 1000/

^ A 1 c^, ^s, (JL L\ ,. (± i),

lO 2 \I0 100/ \.I0 1000/

et enfin, en ayant égard à (i) et (2),

(3) . A-|A°-HiA' I ,, I „

4. Les valeurs de !?, o", o' étant calculées, soit directement, soit par les formules précédentes, on substituera des nombres croissants de dixième en dixième, à partir de 4, et l'on trouvera

/(4,2) -= -T- o,ooS, /(4,3) = — 0,323, /(4,8)--o,oS8, /(4,9^==^ 0,379.

Par conséquent, il existe une racine entre 4,2 et 4,3, et une autre entre 4,8 et 4,9- Il sera bon de pousser le calcul des substitutions jusqu'à /(5), dont la valeur déjà calculée fournira une vérification.

Les racines étant séparées, on trouvera des valeurs approchées de chacune d'elles, à moins d'un centième, en substituant des nombres équidistants d'un centième entre ses deux limites. Nous n'entrerons pas dans de plus grands détails sur ce calcul, qui ne peut être profitable au lecteur qu'autant qu'il l'exécutera lui-même. C'est la raison qui nous a fait supprimer les tableaux des diverses substitutions qui auraient tenu beaucoup de place sans offrir beaucoui' d'intérêt.

5. Usage des constructions graphiques dans l'application de la méthode précédente.— La méthode que nous venons d'exposer ne réussit pas toujours aussi facilement. 11 y a quelquefois doute sur les intervalles entre lesquels des racines peuvent exister. L'emploi des constructions graphiques donne souvent, à ce sujet, d'utiles indications.

Soit

APPLICATION DE LA THÉOUIE DES DIFFÉRENCES, ETC. C-jQ

l'équation proposée, et considérons la courbe (*) qui a pour équation

La résolution de l'équation (i) reviendra à déterminer les points pour lesquels on a ^T' =^ o, c'est-à-dire à calculer les abscisses des points où la courbe rencontre l'axe des x.

Les premières substitutions faites dans y (.r) permettront de figurer un certain nombre de points de la courbe et donneront un premier aperçu de su lorme.

En s'aidant de quelques théorèmes généraux relatifs aux ordonnées maximum ou minimum, au sens de la concavité, etc., on sera souvent averti de la possibilité ou de l'impossibilité de l'existence de certaines racines dans les intervalles considérés.

Par exemple, si le lecteur prend la peine de construire les divers points de la courbe qui a pour équation

j- =^ x^ — 7 j:- -H 2 a: -H 4 1 > correspondant aux abscisses — i, o, i, 3, 3, 4, il verra que l'ordonnée, d'abord égale à ^i pour ce — o, décroit très-rapidement dear=;oàx=4> ^^ qu'elle croît, au contraire, à partir de jt = 5. Elle doit donc avoir un minimum entre X =; 4 et x = 5, et ce n'est que dans cet intervalle qu'elle peut rencontrer l'axe des X. Toute autre supposition donnerait à la courbe une forme incompatible avec son degré.

6. De la résolution des équations transcendantes. — Le caractère à l'aide duquel on reconnaît qu'il existe entre deux nombres au moins une racine d'une équation algébrique est encore applicable au cas d'une équation transcendante f{x) = o, pourvu que son premier membre soit, dans l'intervalle considéré, une fonction finie et continue, c'est-à-dire une fonction qui varie par degrés insensibles quand les valeurs consécutives de x sont de plus en plus rapjjrochées les unes des autres. Il est visible, en effet, que /"(x) ne pourra varier de f{a) h. f {b) sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. De sorte que, si /(a) et f {b) ont des signes contraires, /(x) aura dû passer, dans l'intervalle, par la valeur zéro, au moins une fois.

D'après cela, la marche à suivre pour résoudre une équation transcendante sera à peu près la même que celle qu'on a suivie pour les équations algébriques; on commencera par substituer différents nombres pris dans le voisinage des valeurs où un premier aperçu aura fait présumer qu'il existe des racines. La manière dont ces résultats varient et l'emploi des constructions graphiques fourniront des indications utiles, dont la sagacité de l'opérateur tirera parti suivant les cas.

Prenons pour exemple l'équation suivante :

f (x) = X — cos X = o,

traitée par Euler (**), et qui répond à ce problème : Trouver un arc égal à son cosinus.

'*) Voir V Application de l'Algèbre à la Géométrie.

(**, Introductio in analjsin infuiitorum, t. II, chap. XXVI.

G5o NOTE VI r.

En substituant les nombres o et -, je trouve

ce qui m'ajjprend d'abord que l'équation possède une racine entre zéro et go degrés; et elle ne peut en ayoir qu'une seule, puisque dans cet intervalle la fonction x — cosj: est toujours croissante.

Pour approcher de la racine dont je viens de reconnaître l'existence, je remplace l'équation proposée par l'équation équivalente

o[x] = lojx — loj cos.i,

qui me permettra de faire usage des Tables. Comme, d'ailleurs, il est visible que la racine cherchée ne peut être très-près de zéro, je substitue 3o degrés, ce qui me donne

s(3o<') = — o,aiS53:9.

J'en conclus que la racine est plus grande que 3o degrés. Elle est même audessus de 4o degrés, puisque

5;(4oo)— o,o4o3i66.

On a ensuite

Donc la racine est inférieure à 45 degrés, et comprise entre 45 et '^o degrés.

Comme o(4o°) et o(45°) sont à peu près aussi éloignés de zéro, l'une au-dessous, l'autre au-dessus, on juge que la racine cherchée est à peu près à égale distance de 4o et de 4") degrés. C'est pourquoi on posera tour à tour x = 43° et ^ = 42°, ce qui donne

La racine est donc comprise entre 42 et 43 degrés. Comme, d'ailleurs, f (43°) est environ le tiers de la différence 9(42°) — (43°), on substituera les deux nombres 42°2o' et 42° 21', et les résultats obtenus étant de signes contraires, on en conclura que la racine cherchée est 42° 20' à :' près.

7. L'exemple précédent montre comment, à l'aide de substitutions alternatives, on peut resserrer une racine entre des limites de plus en plus rapprochées. On aurait pu, au lieu de suivre cette marche, substituer des nombres en progression arithmétique. Lorsque ces nombres sont assez voisins pour que les différences des résultats puissent être considérées comme égales entre elles à partir d'un certain ortlre, on continue l'opération comme s'il s'agissait d'une équation algébrique.