r — 2.r = 5 -+- 3, ou, réduisant

Divisant les deux membres par 2, on trouve enfin

Et en effet, si l'on substitue 4 à la place de x dans l'équation, il vient

4x4 — 3 = 2x4-^5 ou i3 = i3.

Soit, pour second exemple, l'équation traitée (4-i)

On obtient d'abord, en chassant les dénominateurs,

loa: — 32:c — 3i2 = 21 — Six.

Transposons dans le premier membre les termes en x^ et dans le second les termes connus ; l'équation devient

lox — 32J: -i- Six = 21 — 3i2, ou, en réduisant, Zox = 333.

Divisant les deux membres par 3o, on obtient

333 III 3o 10

résultat qu'on vérifierait en remplaçant x par cette valeur dans l'équation proposée.

Soit encore l'équation

{3g — x) [a — b) -T- lax = ^b [x -h a).

Il faut d'abord effectuer les multiplications indiquées, afin de réduire les deux membres à des polynômes, et de pouvoir ainsi dégager l'inconnue X. Or, si l'on applique la règle établie (17) pour la multiplication des polynômes, il vient

3a'— aa — 3ab -i- bx -h lax — ^bx -^ ^ab\ Jlg. B. 4

5o CHAPITRE II.

d'où, transposant et réduisant,

ax — 'iùx = ynb — 3«'.

Observons maintenant queax—ibx est la même chose que [a- Zb)x, ce qui donne ,02

Divisant enfin les deux membres par a — 3b, on trouve

jnb — Zri^

En général , pour résoudre une équation du premier degré, quelque compliquée qu'elle soit, il faut : 1° commencer par chasser les dénominateurs, s'il y en a, et effectuer, dans les deux membres de l'équation, toutes les opérations algébriques qui se présentent; on parvient ainsi à une équation dont les deux membres sont des polynômes entiers; 1" transposer dans un même membre (c'est ordinairement le premier) tous les termes affectés de l'inconnue, et dans l'autre membre les termes connus; 3° réduire à un seul tous les termes affectés de x si Véquation est numérique, et, si l'équation est algébrique, former de tous ces termes un seul produit composé de deux facteurs, dont l'un soit x et Vautre l'ensemble des quantités qui multiplient x, réunies avec leurs signes respectifs; 4° enfin, diviser les deux membres de l'équation par le nombre ou le polynôme qui multiplie l'inconnue, et effectuer la division s'il est possible.

Voici un exemple où la règle précédente doit être appliquée dans toutes ses parties : résoudre l'équation

En faisant disparaître les dénominateurs, on a

b[a-^ bf [x — b)-Zab [a- - i')

= b{a — b) [^ab — b-) — ib (a'— b^)x + («'- i') («'- bx);

effectuant les multiplications indiquées,

a^bx -^ ^ab'x -f- b'x - a^b- - 'iab' — b* - 3a^b ^ 3ab'

= ^a'^b'' — ab" — ^ab^ -^ b' — id" bx-hib^ X + a' —a'b- — à'bx ^ b^x-^

transposant et réduisant

^à'bx-^iab^x-'i.Px^^ /ia'b' - eab' -h 2b* -4-3a^b -^ a*;

réunissant en un seul tous les termes affectés de x,

b {/ia' ^ 2ab - 2b')x = 4a-b' - (bab' + o.b' -i- 5a'b -r- a* i

ÉQUATIONS DU PRE.MIKR DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE. 5l

donc enfin,

b (4«^-r- "i-cib — ib'-] expression qui ne peut se réduire à un polynôme (32).