Supposons que l'on ait à résoudre une équation telle quo

En transposant les termes affectés de x dans le premier membre, et les termes connus dans le second, on trouve

3ar— 4^=2 — 7, ou, réduisant, —x= — ^.

Pour interpréter ce résultat, il suffit d'observer qu'on peut intervertir l'ordre de la transposition, c'est-à-dire faire passer au contraire dans le second membre les termes affectés de x; ce qui donne

7— 2 = 4x — 3:r, d'où b — x, ou bien enfin x=b\

c'est-à-dire que toutes les fois qu'on parvient à un résultat tel que — a: = — 5, il n'y a qu'à changer les signes des deux membres.

Cela revient évidemment à transposer les termes affectés de l'inconnue dans le second membre, et les termes connus dans le premier; et réciproquement.

47, Nous avons déjà dit que la première partie de la résolution algébrique d'un problème n'est soumise à aucune règle bien fixe. Tantôt l'énoncé du problème fournit sur-le-champ l'équation; tantôt on est obligé de démêler dans l'énoncé les conditions qui sont de nature à former l'équation ; tantôt, enfin, ce ne sont pas les conditions elles-mêmes de l'énoncé qu'il faut traduire algébriquement, mais bien des conditions que l'on peut regarder comme conséquences des premières. On appelle alors celles-ci conditions explicites, et celles qu'on en déduit, conditions implicites. Cependant nous donnerons, avec Lacroix, un précepte dont l'application bien entendue conduit toujours à l'équation. En voici l'énoncé : Regarder le problème comme résolu, et indiquer à l'aide des signes algébriques, sur les quantités connues, représentées soit par des nombres, soit par des lettres, et sur Vinconnue, toujours représentée par une lettre, les mêmes raisonnements et les mêmes opérations qu 'il faudrait effectuer pour vérifier la valeur de Vinconnue si cette valeur était donnée.

On obtient, par ce moyen, deux expressions algébriques différentes représentant une même quantité, et renfermant le caractère de l'inconnue; on les égale entre elles, et l'on a l'équation du problème.

Premier problème, — Trouver un nombre dont la moitié, le tiers et le quart, augmentés de 45, donnent pour somme 448.

Soit X le nombre cherché ; - ' | ' t désigneront la moitié, le tiers et

le quart de ce nombre. Or il faut, d'après l'énoncé, que ces trois parties, plus 45, donnent en somme 448 ; on a donc pour l'équation du problème,

ou, retranchant 45 des deux membres,

Chassant les dénominateurs, (

jn trouve

ou,

réduisant,

; donc X - Vérification

La question suivante est du genre de celles qui, en Arithmétique, se résolvent par la règle de fausse position ; et l'on voit avec quelle facilité l'Algèbre fait connaître la réponse à la question.

Deuxième problème. — Quelqu'un engage un ouvrier pour ^8 Jours. Chaque jour qu'il travaille, il reçoit i\ décimes; et à chaque jour d'oisiveté, on lui retient 12 décimes [pour sa nourriture); au bout de ^8 jours, il reçoit, pour solde de son compte, 5o4 décimes [ou 5o^''4o'^). — On demande le nombre de jours de travail et le nombre de jours d'oisiveté.

Si nous connaissions ces deux nombres, en les multipliant respectivement par 24 et 12, puis retranchant le dernier produit du premier, on devrait trouver 5o4 pour résultat ; indiquons ces opérations à l'aide de signes algébriques.

Soit X le nombre de jours de travail \ l\8 — x représente alors le nombre de jours d'oisiveté; 24 x or, ou 24^ désigne la somme que l'ouvrier gagne; et 12 (48 — a:), la somme qu'on doit lui retenir : on a donc, pour 1 équation du problème,