PROBLÊMES DO PREMIER DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE
inières parts et 3 a. Cela fait, le bien est entièrement partagé. — On demande sa valeur.
Désignons par x le bien du père. Si, à l'aide de cette quantité, nous pouvions former les expressions algébriques des trois parts, nous retrancherions leur somme du bien total x, et le reste, égalé à zéro, donnerait l'équation du problème. Tâchons donc de déterminer successivement ces trois parts.
Puisque x désigne le bien du père, .r — « est ce qui reste après qu'on a retranché a\ ainsi l'on a, pour la part du premier enfant,
X — a , . . ^ r^- an -h- X — a „ ,
a -i ) ou, réduisant en fraction, i i" part.
Pour former la seconde part, il faut retrancher de x cette première
part et a^, ce qui donne
an -h X — a
X — ia >
ou, réduisant les entiers en fraction et effectuant la soustraction indiquée,
nx — 3 an — x ^r- a
■■, i*"^ reste.
Or la seconde part se compose de 2 a plus la n''^"" partie de ce reste ; on a donc pour cette seconde part,
nx — San — x -^~ a
la -i 7. }
ou, réduisant l'entier en fraction,
lan^ -\- nx — San — x -\- a
j a*" part.
Si l'on retranche de x les deux premières parts et 3rt, il vient
an -~ X ^ a 1 an^ -\- nx — Zan — x -r- a
X — ia r, >
ou, réduisant au même dénominateur et simplifiant,
n^x — 6c/«^ — inx -4- ^an ->c- x — a
La troisième part est
^ a* reste.
ri^x — 6fl«' — inx -<r- ^an-^ X — a
ir
ou
Zar^ -\- n?x — Çiari^ — inx -^ Lan -\- x — a ^ , 3e part.
Or, d'après l'énoncé, le bien du père se trouve entièrement partagé. Donc, la différence entre x et la somme des trois parts doit être égale à zéro ; ce qui donne l'équation
an -T- X — n i nri^ -\- nx — Znn — x -\-a
3 ari^ -{- /l'x — 6 nn^ — a /?.r -f- ^an -^ x — a
Effectuant toutes les opérations indiquées, on trouve enfin
Çian^ — io^«'-H San — a «(6«' — iort'-+-5/2 — il «' — 'in'-T-'in — i r? — 3«"-t- 3/2 — i
On peut obtenir une équation et un résultat plus simples, d'après la remarque suivante : Dire que la part du troisième enfant se compose de 3«, plus la «'■""• partie de ce qui reste, et que le bien est alors entièrement partagé, c'est dire que le troisième enfant n'a que la somme 3 a, et que le reste dont on vient de parler est nul.
Or on a trouvé, pour l'expression de ce reste,
71^ X — 6 an' — inx ^r- kan -V- X — a n'-
Ce reste, égalé à zéro, donne, abstraction faite du dénominateur,
rî^x — 6fl«' — inx -f- ^an -{- x —a = o; d'où
6 aii^ — \an -\- a a{6n' — /^n -h i)
Kérijîcation.
Pour prouver Yidentlté numérique de cette expression avec la précédente, il suffirait de faire voir que la seconde provient de la première dans les deux termes de laquelle on aurait supprimé un facteur commun. Or, si l'on applique aux deux polynômes
û(6/^'— lort'-i- 5« — i) et n^ — 3«'-t-3« — i
le procédé du plus grand commun diviseur (41 ), on reconnaît que n — i est facteur commun, et en divisant les deux termes de la première expression par ce facteur commun, on retrouve la seconde.
Ce problème est propre à faire voir aux commençants l'importance qu'on doit attacher à saisir dans l'énoncé dune question toutes les circonstances qui peuvent faciliter la formation de Téquation ; autrement on court le risque de parvenir à des résultats plus compliqués qu'ils ne devraient l'être.
PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A l'NE SEULE INCONNUE. 5']
Les conditions qui ont servi à former successivement les expressions des trois paris sont les conditions explicites du problème proposé ; et la condition qui a servi à déterminer l'équation la plus simple du problème est une condition implicite, qu'un peu d'attention a sufS pour faire reconnaître comme comprise dans l'énoncé.
Pour obtenir les valeurs des trois parts, il suffirait de mettre pour x sa valeur dans les expressions que l'on a obtenues ci-dessus.
Appliquons à un exemple la formule
ir — 2 «H- 1 Soit a = loooo, rt — 5 ; il vient
ioooo(6x 25 — 4 X 5-^- 1) loooox i3i i3ioooo Ojg-s ~ 25 — lo H- 1 ~ ~ i6 i6
Vérifions l'énoncé sur cet exemple.
Le premier enfant doit avoir
