lOOOO

looooH 1 ou 24375.

Il reste donc 81 875 — 24375 ou 57500^ à partager entre les deux autres enfants.

Le second doit avoir

20 000 H — ; ^ ou 27000.

Il reste donc 57500 — 27500, ou 3oooo, pour le troisième enfant. Or 3oooo est le triple de loooo; donc la solution est vérifiée.

On peut donner de ce même problème une solution moins directe, mais plus simple et plus élégante. Elle est encore fondée sur cette remarque, que quand on a soustrait 3« des deux premières parts, il ne doit rien rester.

Désignons par r, r', r" les trois restes dont il est question dans l'énoncé; les expressions algébriques des trois parts sont

a -^ — 1 ia -\ , ia-\ — -•

Or, 1° d'après l'énoncé, on a évidemment r" — o.

Ainsi la troisième part est 3«.

r' 2° Ce qui reste, lorsqu'on a donné au second enfant ia -\ — , peut être

58 CDAPITRE II.

représenté par

r' , ou •

D'ailleurs, ce reste forme aussi la troisième part ; ainsi l'on a -— = 3a; dou /•'= -•

Donc, la part du second est

3/7« 3a , . ,.- ^ lan -- a ia -i : n ^ ia ^ * ), ou, simplifiant,

3° Ce qui reste, lorsqu'on a donné au premier a----i est exprimé par

r ou D'ailleurs, ce reste doit représenter la somme des

deux autres parts. On a donc

[n — I ) r inn — a San — in ^

d'où

San — in n 5an^ — icui

n — i n — i {n — ly

Ainsi, la première part est

5a?i'^ — lan 5 an — in

[n — iy i«— ïj

:) an — -la an- -—"ian — a

II' — m -T- i /r — 2« -r- i

On obtient donc enfin, pour le bien total,

- lan -^ a an^ -^3 an — n 3 a -i 1 -. — — 5

n — l II' — 2/i -h- I

OU, prenant n^ — in ~ \ pour dénominateur commun,

3fl(«' — in -;-i) -^ [lan-^ a'){n — i) -!- nn^ -+- 3 a/? — a

(*) Les deux points : employés ici marquent la division de ■ par n

{yoir n" 2).

PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ K UNE SEULE INCONNUE. Sg

puis, effectuant les calculs et réduisant,

6 art' — ^an -h a a(6n^— 4^ + 0 n^— in-hi ~ [n — i)'

résultat obtenu ci-dessus.

Cette solution est d'ailleurs plus complète que la précédente, puisque l'on a obtenu en même temps, et le bien du père, et les expressions des trois parts.

49. Cinquième problème. — Un père ordonne par son testament que Vnîné de ses enfants aura sur son bien une somme «, plus la n'"'" partie du reste ; que le second aura une somme ia, plus la n""" partie de ce qui restera après qu^on aura retranché la première part et ia; cjue le troisième aura une somme 3«, plus la n'""" partie du nouveau reste; et ainsi de suite. On suppose d'ailleurs que tous les enfants soient également partagés. — On demande le bien du père, la part de chacun des enfants, et le nombre des enfants.

Ce problème a cela de remarquable, que son énoncé renferme plus de conditions qu'il n'en faut pour trouver les valeurs des inconnues.

Soit :r le bien du père, x — a exprime ce qui reste après qu'on a prélevé la somme a. Ainsi la part de l'aîné est

X — a an -\- X — 2 a-\ • ou 1 r* part.

Retranchant de x cette première part et 2<7, on obtient

an -^ X — a nx — Zan — x -\- a

X — la — ou )

dont la «'*'"* partie est

nx — 3<7rt — X -^ a n'

Ainsi la part du second enfant est

nx — 3(7// — X ^ a lari^ -; nx — "ian — x -^ a

la-: • ou ■ ■ :; , 2* part.

On pourrait former de la même manière les autres parts ; mais puisque toutes les parts doivent être égales, il suffit, pour former l'équation du problème, d'égaler les deux premières parts, ce qui donne l'équation

an -\- X — a lan^ -f- nx — Zan — x -^ a

6o CeM>ITKE II.

d'où l'on tire

X = nn"^ — •i.an -f- a.

Substituant cette valeur de x dans l'expression de la première part, on trouve

an -f- an' — "xan -\- a — n ou réduisant

oir — an

= an — a ~ a[n — i);

et comme toutes les parts doivent être égales, en divisant le bien total

par la première, on doit obtenir pour quotient le nombre des enfants;

• • an^ ~ lan -\- a ... , , , , ,

amsi, , ou /2 — I, désigne le nombre des enfants.

an — a i o

Bien du père, an^ — lan -i- <? ou <7 (« — i)*;

Part de l'aîné et de chaque enfant, a[n — \)\

Nombre total des enfants, /? — i .

Il reste maintenant à savoir si les autres conditions du problème sont satisfaites; c'est-à-dire si, lorsqu'on donne au second ia plus la //'''"' partie de ce qui reste, au troisième 3« plus la /z''""* partie de ce qui reste,. . ., la part de chaque enfant est en effet a{n — i).

Or la différence entre le bien du père et la première part étant

la part du second doit être

a[n —\y — a[7i — \\ — la ia[n — i)-r- ain—iV— ai n—i]

o.a-h— '- 5 '- ou — ^^ '- > '- ^^ ^5

ou réduisant

a(n — il-f-i7('« — I )^ ,. a{n — i){\-hn — i)

'■ 5 ou bien — ^ -^ j

ou bien enfin

De même, la différence entre a{n — i)^ et les deux premières parts étant o(« — i)^ — Q.a{n — i), la part du troisième doit être

a[n — i)^ — ia[n — i) — 3«

expression qui, étant réduite, devient encore évidemment

a[n — i) -h aln — iV ^ ■ , , \

-^ i 5 — — __', et, par conséquent, a(n — i).

ou

DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES. 6l

En général, on aurait, pour la p'""" part,

a(n — I )" — [p — I ) "^ ( '^ ~ ï 1 — P'^ pa H j

pn[n — \^ -^ n[n — i)* — { p — \)n[ri — i"*

OU

— ^^ ^^ ^j OU bien a[n — \]

Donc, définitivement, toutes les conditions du problème sont remplies.

§ II. — DES ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A DEUX OU PLUSIEURS INCONNUES.

bO. Quoique plusieurs questions résolues précédemment renfermassent dans leur énoncé plus d'une inconnue, nous sommes parvenus à leur résolution en employant un seul caractère. Cela tient à ce que, d'après les conditions de l'énoncé, nous pouvions facilement exprimer les autres inconnues au moyen de ce caractère ; mais il n'en est pas de même dans tous les problèmes où il y a plus d'une inconnue.

Pour savoir comment on doit s'y prendre pour résoudre ces sortes de problèmes, reprenons d'abord quelques-uns de ceux qui ont été déjà résolus à l'aide d'un seul caractère.

Trouver deux nombres dont on connaît la somme a et la différence h. — (C'est le problème n° 4.)

Désignons les deux nombres cherchés par x et y\ on a, d'après l'énoncé, les deux équations

Or, en principe , si, à deux nombres égaux A et B, on ajoute respectivement deux autres nombres égaux C et D, les résultats A h- C et B -f- D sont égaux; c'est-à-dire que, si l'on a les équations A = B et C = D, il en résulte A -i- C = B -h D.

De même, si de deux nombres égaux on retranche deux autres nombres «igaux, les restes sont encore égaux, c'est-à-dire que, des deux égalités A = B et C = D, on déduit encore A — C = B — D.

Appliquons ce principe aux deux équations du problème proposé.

On trouve, en les ajoutant

"xx =. a -V h^

et en retranchant la deuxième de la première

•xy ^~a — h.

Chacune de ces équations ne renfermant plus qu'une seule inconnue, on tire de la première,

et de la seconde,

En effet, on a

a -i~ b a — b "in a -^ b a — b ib

Soit encore repris le problème de l'ouvrier (47), en ne considérant que l'énoncé général.

Soient .rie nombre de jours de travail, et rie nombre de jours d'oisiveté : ax et by expriment respectivement la somme que l'ouvrier doit recevoir pour les jours de travail, et celle qu'on doit lui retenir pour les jours d'oisiveté.

On a donc les deux équations