d'où l'on tire y

De même, la première des trois équations proposées devient^ lorsqu'on Mg. D. 5

y remplace x et j par leurs valeurs,

i5 — 24-i-42~i5, d'où z -- -- = 6.

En général, soit un nombre m d'équations à pareil nombre d'inconnues. Pour trouver les valeurs des inconnues, combinez successivement une quelconque des équations avec chacune des [m — i ) autres, de manière à éliminer la même inconnue. Vous obtenez ainsi [m — i) nouvelles équations renfermant [m — i ) inconnues, sur lesquelles vous opérez comme sur les équations proposées ; c'est-à-dire que vous éliminez une nouvelle inconnue en combinant l'une de ces nouvelles équations avec les [m — 2 ) autres, ce qui donne [m — 2 ) équations renfermant [m — 2 ) inconnues. Continuez cette suite d'opérations jusqu'à ce qu'enfin vous parveniez à une seule équation qui ne renferme plus qu'une inconnue, et de laquelle vous tirerez facilement la valeur de cette inconnue. Après quoi, remontant de proche en proche jusqu'à l'une des équations proposées, vous déterminez successivement les valeurs des autres inconnues.

53. La méthode d'élimination que nous venons d'exposer est connue sous le nom de méthode par addition et par soustraction, parce qu'en effet on parvient à chasser les inconnues par des additions et soustractions, après avoir toutefois préparé les équations de manière qu'une inconnue soit affectée du même coefEcient dans toutes les deux.

Il existe encore deux autres méthodes principales d'élimination. La première, appelée méthode par substitution, consiste à tirer de l'une des équations la valeur d'une inconnue, comme si les autres étaient déjà déterminées, et à substituer cette valeur dans les autres équatio;is, ce qui donne lieu à de nouvelles équations qui renferment une inconnue de moins, et sur lesquelles on opère comme sur les équations proposées.

La seconde, appelée méthode par comparaison, consiste à tirer les valeurs d'une même inconnue, de toutes les équations, et à égaler ces valeurs deux à deux ; ce qui donne nécessairement lieu à de nouvelles équations renfermant une inconnue de moins, sur lesquelles on opère comme sur les équations proposées.

Mais ces deux méthodes ont un inconvénient que n'offre pas la méthode par addition et soustraction, c'est de donner lieu à de nouvelles équations renfermant des dénominateurs qu'il faut ensuite faire disparaître. On emploie toutefois avec avantage la méthode par substitution, toutes les fois que l'une des inconnues a un coefficient égal à l'unité dans l'une des équations, parce qu'alors l'inconvénient dont nous venons de parler n'a plus lieu. Nous aurons quelquefois occasion de l'employer. Mais, en général, la méthode par addition et soustraction est préférable ; elle présente d ail-

AUTRES MÉTHODES d'ÉLIMINATION. 67

leurs cet autre avantage, que, si les coefficients ne sont pas trop grands, on peut faire l'addition ou la soustraction en même temps que la multiplication qui tend à rendre les coefficients égaux.

M. Il arrive souvent que les équations proposées ne renferment pas toutes les inconnues à la fois. Dans ce cas, avec un peu d'adresse, l'élimination se fait très-promptement.

Soient les quatre équations à quatre inconnues :

(1) 2^— 3j + 2Zr=l3,

(3) 4j-;-2zi^i4,

En jetant les yeux sur ces équations, on voit que l'élimination de z entre les équations ( i ) et ( 3 ) donnera une équation en x et j ; et si l'on élimine u entre les équations (2) et ( 4), on obtiendra une seconde équation entre x et j; ces deux dernières inconnues peuvent donc être déterminées aisément. D'abord, l'élimination de z entre (i) et (3) donne

7j ~ IX = i;

celle de u entre (2) et (4) donne

2oj-|-6x = 38.

Multiplions la première de ces deux équations par 3, et ajoutons; il vient

4ij=--4i, d'oîi jr=i.

Substituant cette valeur dans yj~ix — i^ on trouve

Reportons la valeur de .r dans l'équation (2) ; il en résulte

4 k — 6 — 3o, d'où « = 9.

Enfin, la substitution de la valeur dej- dans l'équation (3) donne

Nous proposons pour exercice les cinq équations suivantes :

yx — 2z -i- 3 k :- 17,

4/ — 2Z -h f = II,

68 CUAPITRE II.

qui donnent, pour les valeurs des inconnues,

5o. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé le nombre des équations égal au nombre des caractères employés pour désigner les inconnues. Il doit en être ainsi de tout problème à plusieurs inconnues, pour qu'il soit déterminé, c'est-à-dire pour qu'il n'admette pas une inûnilé de solutions.

En effet, supposons, par exemple, qu'un problème à deux inconnues x,/ conduise à l'équation unique Sx — 3j = 12 ; on en déduit

Or, si l'on fait successivement

il en résulte

et tous les systèmes de valeurs

mis pour x et y dans l'équation, y satisfont également.

Si l'on avait deux équations à trois inconnues, on pourrait d'abord éliminer l'une des inconnues à l'aide des équations proposées, et l'on parviendrait ainsi à une équation qui, renfermant deux inconnues, pourrait être satisfaite par une infinité de systèmes de valeurs prises pour c^s inconnues ; d'où l'on déduirait également une infinité de valeurs pour la troisième inconnue. Donc, en général, pour qu'un problème soit déterminé, il faut que son énoncé renferme un nombre de conditions différentes, au moins égal à celui des inconnues, et que ces conditions puissent être exprimées chacune par une équation. Au reste, nous retiendrons plus loin sur les questions qui donnent lieu à un nombre d'équations essentiellement différentes, moindre que celui des inconnues.

S6. Passons à la résolution de nouveaux problèmes à deux ou un plus grand nombre d'inconnues.

Sixième problème. — Une personne possède un capital de "io 000 francs qiûelle fait valoir à un certain intérêt ; mais elle doit une somme de 2.0000 francs dont elle paye un certain intérêt différent du premier: l'intérêt qu'elle retire surpasse celui qic'elle paye de 800 francs. Une seconde personne possède 35 000 francs qu'elle fait valoir au second taux