PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES
d'intérêt; mais elle doit une somme de 24000 francs dont elle paye l'intérêt d' apr-ès le premier faux; l'intérêt qu'elle retire surpasse celui qu'elle paye de 3io francs. — On demande les deux taux d'intérêt.
Solution. — Soient x et y les deux taux d'intérêt pour loo francs. Pour obtenir l'intérêt de 3oooo francs au taux désigné par x, il faut établir la
proportion
3oooo^ „
100 '. X :: 3oooo : ou 6oox.
On obtiendra de même, pour l'intérêt de 20000 francs, au taux désigné
par y, — ou 2oojr. Mais, d après 1 énoncé, 1 excès du premier intérêt
sur le second est égal à 800 francs. On a donc pour première équation du
problème
Boox — 200 j' = 800.
En traduisant algébriquement la seconde condition du problème, on parviendrait à la nouvelle équation
35or — 240^ = 3io.
Slaintenant, les deux membres de la première équation étant divisibles par 100, et ceux de la seconde par 10, on peut remplacer les deux équations par celles-ci :
Pour éliminer x^ multiplions la première équation par 8, et ajoutons; il vient
197=95, d'oià J=5.
Remplaçant j par sa valeur dans la première équation, on trouve
3x — 10 = 8, d'où X — 6,
Ainsi, le premier taux est 6 pour 100, et le second 5. En effet, 3oooo francs placés à 6 pour 100 donnent
3oo X 6 ou 1 800 fr,, 3oooo francs placés à 5 pour 100 donnent
200 X 5 ou 1 000 fr., et l'on a
On vérifierait de même la seconde condition.
57. Voici les énoncés de nouveaux problèmes à une et a plusieurs inconnues, sur lesquels nous engageons les commençants à s'exercer.
Septième problème. — Un ouvrier peut faire un certain ouvrage exprimé par «, dans un temps exprimé par b ; un second ouvrier, l'ouvrage c dans un temps d; un troisième, l'ouvrage e dans un temps f. — On demande quel temps il faut aux trois ouvriers, travaillant ensemble, pour faire l'ouvrage g1
Réponse.
bdfg adf -\- bcf-+- bde
(On peut prendre, pour fixer les idées, le mètre pour unité d'ouvrage, et le jour pour unité de temps.)
Application : a = 27™, b = ^'; c = 35"», d=6i; e= 40'°, f = i^' ; g = 191" ; on doit trouver x ~ I2^
Huitième problème. — On a de l'eau de mer qui, sur Sa kilogrammes, contient 1 /kilogramme de sel. — Combien faut-il ajouter d'eau douce à ces 32 /diagrammes pour que, sur 3% /ilogrammes du nouveau mélange, la
quantité de sel soit réduite à -de Ailogramme. [Rép. iii, kil.)
Neua'ième problème. — Une montre marque midi. — On demande combien de fois les aiguilles des /leures et des minutes se rencontreront depuis midi jusqu'à minuit, et à quelle /leure se fera c/iaque rencontre.
[Rép. Nombre des rencontres, 11; i" rencontre, à i^S^yt] 1^ rencontre, à a^io"!! , 3% à S'-iG"-^:. ..; 10% « io''54'"fi-; ii% à minuit.)
Dixième problème. — Un nombre est composé de trois c/ùffrcs. La somme des c/iiffres est ii] le c/iffre des unités est double de celui des centaines; et quand on ajoute 297 à ce nombre, on obtient une somme qui est le nombre renversé. — Quel est le nombre qui jouit de cette propriété?
(Rép. 326.)
Onzième problème. — Une personne qui possède 100000 francs les fait valoir, une partie à 5 pour 100 et l'autre partie à 4 pour 100; elle retire pour le tout 4640 francs d'intérêt. — On demande les deux parties.
[Rép. 64000 francs et 36ooo francs.)
Douzième problème. — Une personne possède un certain capital qu elle fait valoir à un certain intérêt. Une autre personne qui possède i o 000 francs de plus que la première, et qui fait vcdoir son bien de i pour 100 plus avantageusement rpC elle, a un revenu plus grand de Zoo francs. Une troisième personne qui possède 1 5 000 francs de plus que la première, et qui fait valoir son bien de 2 pour 100 plus avantageusement qu'elle, a un re-
THÉORIE DES QUANTITÉS ^ÉGAriYES. 71
venu plus grand de i 5oo francs. — On demande les biens des trois personnes et les trois taux d' intérêt.
(Somme placées Soooo'''' 40000'"^ 45000*^'
Taux d'intérêt 4 5 6.)
§ III. — Problèmes qui donnent lieu a des résultats négatifs. —
THÉORIE des quantités NÉGATIVES.
58. L'emploi des signes algébriques pour résoudre les problèmes donne souvent lieu à des circonstances singulières qui embarrassent au premier abord ; mais, en y réfléchissant, on parvient à les expliquer, et même à en tirer parti pour généraliser encore davantage la langue algébrique.
Proposons-nous cette première question : Trouver un nombre qui, ajouté au nombre b, donne pour somme le nombre a.
■Solution. — Soit .r le nombre cherché; on a évidemment, pour équation,
b -^ X '- a^ d'où X ^^ a — b.
Cette expression ou formule donnera la valeur de x dans tous les cas particuliers du problème proposé.
Soit, par exemple, a -- 47, i = 29; il vient j: = 47 — 29 = 18.
Soit encore a -- 24, ^ -- 3i ; il vient x = 24 — 3i.
Comme 3i est égal à 24 -i- 7, cette expression de x peut se mettre sous la forme x = 24 — 24 — 7, ou réduisant, x = — y. Cette valeur obtenue pour X est ce qu'on appelle une solution négative. Mais comment l'interpréter.
En remontant à l'énoncé du problème , on voit qu'il est impossible que 3i augmenté d'un autre nombre donne pour somme 24, nombre plus petit que 3i. Ainsi, aucun nombre ne peut vérifier l'énoncé dans ce cas particulier. Cependant si, dans l'équation du problème, Si -hjt = 24, on met à la place du terme -f- jr la valeur négative — 7, il vient Si — 7 = 24, équation exacte qui veut dire que le nombre Si diminué de 7 donne pour différence 24.
Ln solution négative., .r = — 7, indique donc l'impossibilité de satisfaire à l'énoncé du problème dans le sens où il a été établi ; mais en considérant cette solution indépendamment de son signe, c'est-à-dire supposant r =: 7, on voit qu'elle satisfait à l'énoncé modifié ainsi : Trouver un nombre qui, retranché de Si, donne pour différence i/\, énoncé qui diffère du premier, Trouver un nombre qui, ajouté « 3i, donne pour somme 24 , en ce point seulement que le mot ajouter se trouve remplacé par le mot retrancher, et le mot somme par le mot différence.
^2 CHAPirnE II.
Si l'on veut résoudre la nouvelle question directement , il n'y a qu'à poser l'équation
Si — x — 2^', d'où 3i — 24 = j:, ou or = 7.
Soit encore proposé ce problème : Un père a un nombre a (Vannées; son fils en a un nombre b. — On demande dans combien d'années l'âge du fils sera le quart de celui du père.
Solution.
Désignons par x le nombre d'années cherché ; a'-4- x e\,h-\-x expriment
respectivement les âges du père et du fils au bout de ce nombre d'années,
ainsi l'on a l'équation
, a -^ X ,, , a — ib
b -^ X — — ; — ; d ou X ~ — - — - • 4 0
Supposons a = 54, ^ = 9 ; il vient
En effet, le père ayant actuellement 54 ans et le fils 9, dans 6 ans le père aura 60 ans et son fils i5 ; or i5 est égal au quart de 60 ; donc x—Ç> satisfait à l'énoncé.
Actuellement, supposons « = 45, Z» — i5; il vient
On réduit cette expression à j; = — 5, en effectuant autant que possible la soustraction indiquée par 45 — 60, ce qui donne — i5, et divisant — i5 par 3, d'après la règle établie (23) pour la division algébrique. Mais comment interpréter la solution négative x = — 5?
Remontons à l'équation du problème , qui , dans le cas particulier que
nous considérons, est i5 h- a: = — - — '- • Elle renferme une contradiction
45 X manifeste; car le second membre revient à -7- h--; et chacune de ces
deux parties est plus petite que chacune des deux parties du premier membre. Mais si l'on remplace dans l'équation, x -+- par — 5, il vient
i5 — 5 = — -, — 5 ou 10 = —-)
équation exacte qui veut dire que si, au lieu d'ajouter un certain nombre d'années aux deux âges, on en retranche 5 ans, l'âge du fils sera le quart
