THÉORIE DES QUAMITÉS NÉGATIVES

de celui du père. Ainsi, la solution que l'on vient de trouver, étant considérée indépendamment de son signe , satisfait à ce nouvel énoncé : Un père «45 ans , son fils en a i5. — On demande à que/le époque l'âge du fils a été le quart de celui du père. L'équation de ce nouvel énoncé serait

i:} — X — , d ou Ion tirerait Ç>o — \x = ^^~x. et .r — 5.

On voit en effet, pour peu qu'on réfléchisse sur l'énoncé du problème,

que le rapport de l'âge du fils à celui du père étant actuellement -^ i

ou -Ti l'âge du fils ne peut plus devenir le quart de celui du père; mais il

l'a été précédemment, parce que, comme on l'a prouvé (G) d'une manière générale, si l'on ajoute aux deux termes d'une fraction un môme nombre, ia fraction augmente toujours de valeur. Au contraire , elle diminue de valeur quand on retranche un même nombre de chacun de ses deux termes.

59. En nous laissant conduire par l'analogie , nous pouvons établir ce principe général :

i*^ Toute valeur négative trouvée pour l'inconnue d'un problème au premier degré indique un vice dans le sens des conditions de l'énoncé, ou, du moins, dans l'équation qui en est la traduction algébrique. { F'oj-ez la remarque du n° 60.)

2° Cette valeur, abstraction faite de son signe, peut être regardée comme la réponse à un problème dont l'énoncé ne diffère de celui du problème proposé qu'en ce que certaines cjuantités, d'additives qu'elles étaient, sont devenues soustractives , et réciproquement.

Démonstration. — La première partie de ce principe est facile à démontrer. En effet, si Ion trouve pour x une valeur négative, cela provient nécessairement de ce que, par la nature même de l'équation établie, on a été conduit à soustraire un nombre plus grand d'un nombre plus petit, opération inexécutable. C'est ainsi que les valeurs .r=^ — 7,x=— 5 sont provenues {o%) des équations

Or si aucun nombre absolu (*) mis pour x ne peut vérifier l'équation à

(*) On appelle nombre absolu tout nombre considéré indépendamment du signe de l'addition ou de la soustraction.

74 CnAPITRE H.

laquelle on est parvenu en exécutant sur celle du problème les transformations indiquées (43, 41), il faut que cette première équation ne puisse elle-même être vérifiée dans le sens où elle a été formée; car l'exactitude de ces transformations est bien constatée pour toute équation susceptible d'être vérifiée par un nombre absolu qu'on y mettrait pour l'inconnue.

Souvent l'impossibilité de résoudre la question ou l'équation , dans le sens où elle a été établie, est évidente à la seule inspection, soit de l'énoncé, soit de réquation : les deux problèmes précédents en sont des exemples. D'autres fois, cette impossibilité est difficile à découvrir; mais la suite des calculs finit toujours par la mettre dans tout son jour.

Passons à la seconde partie du principe.

Observons d'abord que si, dans l'équation, l'on remplace x par — x, tous les termes renfermant .r, s'ils sont additifs, deviendront soustractifs, et réciproquement; car si l'on a, par exemple, le terme h- ox, en mettant — .r à la place de x, il deviendra -h « x — ar, ou — ax. De même, si l'on si l'on a le terme ~ bx, il deviendra — 6 x — ^, ou -+- bx. Ainsi, en traduisant en langage ordinaire la nouvelle équation, on aura nécessairement un nouvel énoncé qui ne différera du premier qu'en ce que certaines quantités, d'additives qu'elles étaient, seront devenues soustractives, et réciproquement.

Il reste à faire voir maintenant que la substitution de — x à la place de X dans l'équation donne lieu au résultat a: ~ /?, si l'on avait d'abord obtenu x ~ ~ p [p est ici regardé comme un nombre absolu).

Or, quelle que soit l'équation primitive du problème, on peut toujours, par des transformations connues, la supposer ramenée à la forme ax = — b {a et b étant des nombres absolus).

De cette équation, l'on tire

X —- , ou X =. , ou bien enfin x = — p.

p exprimant le nombre absolu -• Mais si l'on met — jr à la place de x

dans l'équation primitive, on parviendra, en opérant sur la nouvelle équation comme sur la première, à l'équation

— ax — — b: d'où x =z , ou x — -•, ou enfin x — p.

(*) L'énoncé du principe précédent et une partie de la démonstration sont extraits de l'ouvrage intitulé : Réflexions sur la métaphjsique du Calcul infinitésimal, 4^ édition, par Caunot. (Paris, Gautliier-Villars ; iS6o. Prix: l\ fr.)