THÉORIE DES QUANTITÉS NÉGATIVES

On voit, par ce qui précède, dé cpielle manière on doit interpréter les solutions négatives. Elles peuvent être regardées, abstraction faite de leur signe, comme des réponses, non aux questions telles qu'elles ont été établies, mais à des questions de même nature, dont certaines conditions ont été modifiées; et, pour obtenir le nouvel énoncé, le moyen le plus sûr est de remonter à V équation du problème, d'y changer x en — x, puis de traduire en langage ordinaire la nouvelle équation. [Voyez le n° 71 pour la démonstration du même principe , dans les équations du premier degré à plusieurs inconnues. )

GO. Remarque. — Le principe qu'on vient d'établir n'est rigoureusement \Tai que pour les équations, et il ne l'est pas toujours pour les énoncés des problèmes, c'est-à-dire que tel problème peut avoir un énoncé exact, lors même qu'en résolvant l'équation établie on parvient à une valeur négative. Cela tient à ce que l'algébriste, dans l'application de ses méthodes à la résolution dun problème, prend souvent certaines conditions dans un sens opposé à celui où elles devraient être prises ; et, dans ce cas, la solution négative qu'il obtient redresse le point de vue sous lequel il a envisagé ces conditions. Ainsi, l'équation est vicieuse, quoique le problème soit susceptible d'être résolu ; et ce n'est que lorsque l'équation est la traduction fidèle de l'énoncé et du sens de toutes ses conditions , que le principe est applicable aux énoncés. Xous en verrons des exemples par la suite ; mais c'est principalement dans les applications de l'Algèbre aux questions de la Géométrie que le principe est applicable aux équations plus qu'aux énoncés eux-mêmes.

Au reste, pour peu qu'on réfléchisse sur la démonstration qui en a été donnée, on verra que les raisonnements portent plutôt sur les équations que sur les énoncés dont ces équations sont regardées comme la traduction algébrique.

61. Dans la démonstration précédente, on a été conduit à multiplier — a par — JT, à diviser —b par — a, — b par —a; et l'on est parvenu aux résultats en appliquant aux monômes les règles des signes établies pour la multiplication et la division des polynômes. Il peut paraître, au premier abord, nécessaire de démontrer ces règles par rapport aux monômes isolés; et c'est en effet ce que font presque tous les auteurs, ^fais les démonstrations qu'ils en donnent n'ont que l'apparence de l'exactitude, ou laissent beaucoup de vague dans l'esprit. Nous dirons donc que Von a étendu aicx quantités monômes les règles des signes établies et démontrées pour les polynômes , afin de donner une interprétation aux résultats singuliers que fournit V Algèbre. En n^ admettant point cette extension, on se priverait d'un des principaux avantages de la langue

algébrique, lequel consiste à embrasser dans une seule et même formule les solutions de plusieurs questions de ntcine nature, mais dont les énoncés diffèrent par le sens de certaines conditions, c'est-à-dire en ce que certaines quantités sont additices dans les uns et soustractives dans les autres, et réciproquement. "

L'extension aux quantités monômes, des règles établies pour les polynômes, peut toutefois être motivée par les considérations suivantes :

La démonstration exposée (17), pour la multiplication d'un binôme a— b par un binôme c — d, suppose évidemment « > 6 et c > d. Si le contraire a lieu, ces raisonnements n'offrent plus à l'esprit aucun sens rigoureux; et cependant la règle des signes une fois établie, on ne songe pas à la révoquer en doute, quels que soient les rapports de grandeur de a, è, c, d.

Cela posé, le produit ùq a — b par c éiant ac — bc, il s'ensuit que le produit d'une expression négative a — b [a étant <C b) par une quantité positive c est négatif.

De même, le produit de b par c — d étant bc — bd, il en résulte que le produit cVune quantité positive b par une expression négative c — d (c étant < ^) est négatif.

Enfin, le produit (S.Q a — b par c — d étant, comme on l'a dit,

ac — bc — ad h- bd^

expression qui peut se mettre sous la forme

bd — ad — bc ~[- ac^ ou d{b — a) — c{b — a)^

si l'on suppose d^ c, et b^ a ou. b — a positif, il en résulte nécessairement

d[b — a)':> c{b — a), et par conséquent d[b — a) — c{b — a]

positif. Donc le produit d'une expression négative a — b par une expression négative c — d [a étant < i et c < 6?) est positif.

C'est d'ailleurs là ce qui constitue l'un des caractères distinctifs de l'Algèbre. En Arithmétique comme en Géométrie, les raisonnements portent toujours sur des êtres réels que l'esprit peut saisir, tandis qu'eu Algèbre on raisonne et l'on opère le plus souvent sur des êtres imaginaires, ou sur des symboles présentant des opérations inexécutables ; mais l'exactitude des résultats qu'on obtient par ce moyen, et auxquels on parviendrait également par des procédés plus rigoureux, mais beaucoup plus longs, justifie suffisamment la marche qu'on a suivie.

G2. Comme les règles des signes relatives aux monômes sont d'un usage