THÉORIE DES QUANTITÉS NÉGATIVES
continuel en Algèbre, il est à propos d'en présenter ici l'ensemble. D'ailleurs, nous en verrons dériver de nouvelles expressions propres au langage algébrique.
Commençons par l'addition et la soustraction.
Pour ajouter -h b ou —b avec une quantité exprimée par ^, il faut écrire a^ b ou a — è, c'est-à-dire écrire les deux monômes l'un à la suite de l'autre avec leurs signes respectifs. [Voyez n° 13.)
Pour soustraire -i- i ou — i de <?, il faut écrire a — b o\x a -r- b^ c'està-dire changer le signe du monôme à soustraire, et l'écrire avec son nouveau signe à la suite de celui dont il faut soustraire. [P'ojez n° M.)
Quant à la multiplication et à la division
— ax ^ b on — a>i — b donne pour produit -^ ab ]
— a X -r- b ou -i- a X — b donne pour produit — ab )
-T- a : -r- b ou — a : — b donne pour quotient -r- -r 1
— a : -^ b ou -^a : — b donne pour quotient — j \
Ces règles donnent lieu à quelques remarques importantes : 1° En Algèbre, le mot ajouter Qi\Q moi somme ne doivent pas toujours, comme en Arithmétique, entraîner avec eux l'idée d'augmentation; car le résultat « — è, de l'addition de — ^ avec <?, est, à proprement parler, une différence entre le nombre d'unités exprimé par a et le nombre d'unités exprimé par b ; par conséquent, ce résultat est moindre que a. Pour distinguer cette espèce de somme d'une somme arithmétique, on lui donne le nom de somme algébrique. Ainsi, un polynôme tel que
2a' — 3«^6 -t- Zabc — "xcrc
est une somme algébrique, en tant qu'on le regarde comme le résultat de la réunion des monômes ia^^ — Za'^b, h- ^abc^ — ia-c, avec leurs signes respectifs ; et son acception propre est la différence arithmétique entre la somme des unités contenues dans les termes soustractifs.
Il résulte de là qu'une somme algébrique peut, dans les applications, se réduire à un nombre, positif ou négatif, moindre en valeur absolue que chacun des nombres qui constituent cette somme.
2° Le mot soustraire et le mot différence n'offrent pas toujours l'idée de diminution ; car la différence entre -^ a &t — b étant a-h b, surpasse le nombre a ; c'est une différence algébrique, parce que le résultat peut être mis sous la forme a ~ { — b).
Au moyen de ces dénominations, les valeurs négatives peuvent être regardées comme des réponses aux questions. Par exemple, dans l'équation
3i -j-.r -- 24, le résultat .r -- — 7 indique qu'il faut ajouter — 7 à 3i
pour obtenir 24 ; et en effet, 3i -f- ( — 7), ou 3i — 7, est égal à 24.
Pareillement, dans l'équation i5 -h x — — -r-^j le résultat a: — — 5
indique qu'il f;mt ajouter — 5 aux deux âges, pour que l'âge du fils soit le quart de celui du père. En effet, on a
i5-l- ( — 5) ou i5 — 5 =
- ïo
45 +- ( - 5) ou 45 — 5 -
63. La nécessité d'employer les expressions négatives dans les calculs algébriques, et de les soumettre aux mêmes opérations que les quantités absolues, a conduit les algébristes à deux autres proposition?, qui seront par la suite d'un usage très-fréquent. En voici l'énoncé : Toute quantité négative — a est plus petite que o ; et de deux quantités négatives, la plus petite est celle dont la valeur absolue est la plus grande.
Ainsi, a étant numériquement plus grand que b, on a
— fl < o et — a <C — b.
Pour nous rendre compte de ces deux propositions, observons qu'en général, si d'un même nombre on retranche une suite de nombres de plus en plus grands, les restes doivent être de plus en plus petits. Cela posé, prenons au hasard un nombre entier, 6 par exemple, et de ce nombre retranchons successivement 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,. . .; on trouve, en écrivant les différences sur une même ligne,
ou réduisant,
D'où l'on voit que — i doit être regardé comme plus petit que o, puisque celui-ci exprime l'excès de 6 sur lui-même, tandis que — i exprime l'excès de 6 sur un nombre plus grand.
Par la môme raison, — i est plus grand que — 2,-3 est plus grand que — 4, quoique les valeurs numériques des premières expressions soient moindres que celles des dernières.
Autrement. — Dès que, pour interpréter tous les résultats singuliers que fournit la résolution algébrique d'une question, l'on est convenu de considérer les expressions négatives comme des quantités, il faut qu'en les soumettant aux mêmes opérations que les nombres absolus, on puisse parvenir à des résultats exacts. Or on peut regarder comme un axiome, que, si un nombre a est plus grand qu'un autre b, et que l'on ajoute à
chacun un même nombre f/, le premier résultat, a -;- r/, est plus grand que le second, b -r- d.
Cela posé, en admettant les inégalités o > — «, et — « > — (« -t- m) [a et m sont ici des nombres absolus), si l'on ajoute aux deux membres de chacune d'elles a -;- w, on trouve
a ~r m > m et m > o,
ce qui est exact. Au contraire, si l'on posait
o < — a et — « <; — (« -I- m),
il en résulterait
a -!- m < w et w < o,
ce qui serait absurde.
En général, on doit admettre les deux propositions précédentes si l'on veut pouvoir opérer sur les expressions négatives comme sur les quantités absolues. Ces propositions sont, au reste, une espèce de locution algébrique analogue à celles dont nous nous servons souvent dans le langage ordinaire. Nous disons tous les jours : Telle personne a moins que rien, pour exprimer qu'elle doit plus qu'elle ne possède; et de deux personnes qui, ayant la même fortune, doivent plus qu'elles ne possèdent : La plus riche est celle c^d doit le moins.
Discussion des problèmes du premier degré à deux ou plusieurs inconnues.
Gi. Lorsqu'on a résolu un problème généralement, c'est-à-dire en représentant les données par des lettres, on peut se proposer de déterminer ce que deviennent les valeurs des inconnues, pour des hj-pothèses particulières faites sur les données. La détermination de ces différentes valeurs et l'interprétation des résultats singuliers auxquels on parvient forment ce qu'on appelle la discussion du problème.
Voici une question dont la discussion offre à peu près toutes les circonstances qui se rencontrent dans les problèmes du premier degré :
Treizième problème. — Deux courriers partent en même temps ae deux points différents A et B, d'une même ligne AR, et se dirigent dans le même sens AB. Le courrier qui part du point A. fait m kilomètres par heure, et le courrier qui part du point B en fait n. — On demande à quelles distances des points A e/ B les deux courriers se rencontreront.
8o CnAPITRE II.
Solution. — Soit R le point de rencontre ; appelons x et y les distances inconnues AR et BR, exprimées en kilomètres, et n la distance AB qui sépare les deux courriers au moment de leur départ. On a évidemment, pour première équation,
Mais m Gt n exprimant les nombres de kilomètres faits par heure (ce sont les vitesses respectives des deux courriers), il s'ensuit que les temps
jc y
employés pour parcourir les espaces x et j sont marqués par — et -;
d'ailleurs, ces deux temps sont égaux. Ainsi, l'on a, pour seconde équation du problème,
m n ou bien
( 2 ) nx — my — o .
Combinant les équations (i) et (2) entre elles, d'après les méthodes connues d'élimination, on obtient
valeurs qu'il est aisé de vérifier.
Discussion. — Tant que l'on supposera m > «, d'où m ~ n^ o, ou positif, CCS valeurs seront positives, et le problème sera résolu dans le sens propre de son énoncé. En effet, si le courrier A est supposé aller plus vite que le courrier B, on conçoit qu'à chaque instant il gagne du chemin sur celui-ci ; l'intervalle qui les séparait d'abord diminue de plus en plus, jusqu'à ce qu'enfin il s'anéantisse tout à fait; et alors les deux courriers doivent se trouver au même point de la ligne qu'ils parcourent.
Mais si l'on suppose »?<//, é'où ni — n<.o ou négatif, les valeurs sont à la fois négatives et deviennent
Pour interpréter ces résultats, observons qu'il est impossible que les deux courriers se rencontrent s'ils sont partis en même temps des points A et B, comme on l'a supposé, l'intervalle qui les séparait ne faisant qu'augmenter à chaque instant. Mais cette condition de leur départ simultané, n'étant pas de nature à être exprimée algébriquement, n'entre pour rien dans les équations du problème, qui sont restées tout à fait indépen-
DISCUSSION DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 8l
dantes de cette restriction. Si donc on suppose que les courriers, parvenus en même temps, l'un au point A, l'autre au point B, se meuvent déjà depuis un temps indéfini sur la ligne et dans le sens AB, alors il est clair qu'ils auront dû se rencontrer antérieurement en un point R' du prolongement de BA, qui est précisément celui que déterminent les valeurs de x et de j. En effet, si l'on met le problème en équation d'après la nouvelle hypothèse, ce qui revient à changer les signes de ^ et j dans les deux équations, conformément au principe établi (S9), on obtient
équations qui, résolues, donnent am
Il — iii n — m
Ces valeurs vérifient le nouvel énoncé, dans lequel on suppose que les
courriers se sont déjà rencontrés avant d'être parvenus aux points A et B.
Soit maintenant m = «, d'où m ~n — o\ les valeurs générales se ré-
am an
duisent ^ x — — ; r = — o o
Comment interpréter ces nouveaux résultats?
En remontant d'abord à l'énoncé, on voit qu'il y a impossibilité absolue d'y satisfaire, c'est-à-dire qu'il ne peut exister de point de rencontre; car les deux courriers étant à un intervalle a l'un de l'autre, et allant également vite, doivent toujours conserver entre eux la même distance. On
peut donc regarder le résultat — comme un nouveau signe d'impossibilité. En effet, si l'on reprend les équations du problème, elles deviennent, dans le cas de m = n,
X y X — Y = a, — = — , ou X — y = a, x — y=o, mm j 1 j y
équations évidemment incompatibles.
Cependant les algébristes regardent les résultats x= — , y — —,
comme formant une espèce de valeur à laquelle ils donnent le nom de
valeur infinie. En voici la raison.
Lorsque la différence m — n, sans être tout à fait nulle, est supposée?
très-petite, les deux résultats ? • sont très-grands.
Soit, par exemple,
>n — « = o,oi, m =3; d'où « = 3 — 0,01 = 2,99. Alg. B. 6
82 CUAPITRE
Il vient
(lin 3 rt -
an
in — n o,oi
Soit encore
d'où /
il en résulte
tiin = Soooort. —
an
En un mot, tant que la différence des deux vitesses n'est pas nulle, les deux courriers se rencontrent; mais les distances du point de rencontre aux deux points de départ deviennent de plus en plus grandes à mesure que cette différence diminue. Donc,« Von suppose cette différence moindre
au aucune srandeur donnée, les distances • , sont plus
■' ° VI — n m — n
grandes qu'aucune quantité donnée, ou infinies. On dit alors, pour abréger, que si m — n =: o, les valeurs qui en résultent,
nm nn
o *^ o sont infinies.
Comme o est moindre que toute grandeur absolue, il s'ensuit que l'on peut prendre ce caractère pour désigner le dernier état d'une grandeur qui peut décroître autant que l'on veut. De même, comme un nombre fractionnaire est d'autant plus grand que son numérateur est plus grand par rapport à son dénominateur, il s'ensuit qu'une expression telle que
- (A étant un nombre absolu quelconque) est très-propre à exprimer une
quantité infinie, c'est-à-dire une quantité plus grande qu'aucune quantité assignable.
L'infini s'exprime encore par un /luit couché oc ; et, par conséquent, une quantité moindre qu'aucune grandeur donnée, ou o, peut aussi s'ex-
primer par — j car une fraction est d'autant plus petite que son déno-
minateur est plus grand par rapport à son numérateur. Ainsi o et — sont
des symboles synonymes ; il en est de môme de - et oo •
Nous avons insisté sur ces dernières notions, parce qu'il y a des questions d'une nature telle, que Y infini peut être regardé comme une véritable réponse à l'énoncé. On en voit des exemples fréquents dans Vapplication de V Algèbre aux questions de Géométrie.
En résumant ce que nous venons de dire, dans le cas de m .- «, on voit qu'il n'y a pas, à proprement parler, de solution du problème, en nombres finis et déterminés ; mais on trouve des valeurs infinies pour les inconnues.
Si, à l'hypothèse m = «, on ajoute celle-ci, a ~ o, les deux valeurs deviennent
■Quel sens doit-on attacher à ce nouveau résultat?
Reprenons l'énoncé et observons que, si les deux courriers partent du même point et vont également vite, ils doivent être toujours ensemble, et, par conséquent, se rencontrer en tous les points de la ligne qu'ils parcourent. Et, en effet, les équations deviennent, dans la double hypothèse de m = n, a = o,
X y x — r=o, = o, ou X — r=o, x — r = o,
équations qui rentrent l'une dans l'autre. Ainsi la question est tout à fait indéterminée (oo), puisqu'on n'a réellement qu'une équation entre deux inconnues.
L'expression - est donc, dans ce cas, le symbole d'une indétermination
dans l'énoncé.
Si les deux courriers ne vont pas également vite, c'est-à-dire que l'on ait m > ou < «, mais qu'on suppose a — o, on trouve pour valeurs a; = o, jr = o.
En effet, les courriers, partant du même point, et ayant des vitesses différentes, ne peuvent évidemment se trouver ensemble qu'au point de leur départ.
Les hypothèses précédentes sont les seules qui conduisent à des résultats remarquables. Elles suffisent d'ailleurs pour faire voir aux commençants de quelle manière l'Algèbre répond à toutes les circonstances de l'énoncé d'un problème.
Nous généraliserons bientôt la discussion précédente; mais auparavant nous ferons une remarque de la plus grande importance dans les applications algébriques.
6b. Lorsqu'un problème a été résolu généralement, on peut, au moyen des formules ou valeurs trouvées pour les inconnues , obtenir par de simples changements de signe, celles qui conviennent à de nouveaux problèmes généraux dont les énoncés ne diffèrent de celui du problème pro-
84 CDAPITRE II.
posé que par lo sens de certaines quantités qui, d'additives qu'elles étaient, sont devenues souslractives, et réciproquement.
Prenons pour exemple le problème de l'ouvrier, résolu (47). En supposant que l'ouvrier reçoive pour son décompte une somme c, on a les équations
, ,, , bn -h r an — c
