X -v Y = n, ax—bY=c, a ou x=- —, y— r
Mais si l'on suppose au contraire que, tout décompte fait, l'ouvrier, au lieu de recevoir, doive une somme c, les équations seront alors
x^y=n^ by — ax — c^ ou x -i- y — n, ax — by — — c
(on a changé les signes de la seconde équation).
Or il est visible que, sans résoudre de nouveau ces équations, on peut obtenir sur-le-champ les valeurs de x et de j qui leur correspondent, en changeant simplement le signe de c dans les valeurs précédentes, ce qui
donne
hn — c an -^ c
Afin de le prouver rigoureusement, désignons, pour le moment, — c par d\ les équations deviennent alors
x -^y = n , ax — ^JK = d^
équations qui ne diffèrent de celles du premier énoncé qu'en ce que c est changé en d. Ainsi l'on trouvera nécessairement
bn -^ d an — d
Actuellement, si l'on remplace d par sa valeur — c, il vient
bn-\-{ — c) an — ( — c\
ou bien, en apphquant les règles établies (62),
On peut comprendre sous les mêmes formules les résultats qui conviennent aux deux, énoncés, en écrivant
hn rh c an z^z c x = j-1 y— p.
(Le double signe ± s'énonce plus ou moins; les signes supérieurs correspondent au cas où l'ouvrier reçoit la somme c, et les signes inférieurs à celui où l'ouvrier la doit. )
Ces formules embrassent encore le cas où, tout décompte fait, l'ouvrier et la personne qui l'emploie sont quittes l'un envers l'autre. Il suffit de supposer c = o, ce qui donne
bn an
Soient encore les deux équations générales
ax -r- by = c, dx -^ fy = g^
provenant de la traduction algébrique d'un problème quelconque. En multipliant la première équation par /, la seconde par 6, et soustrayant la seconde de la première, on a
cj — b^ [af~ bel) X = cf— bg, d'où X = • ^^'
On trouverait de même
as — cd
af- bd
Cela posé, pour passer de ces formules : 1° A celles qui conviennent aux équations
ax — by = c, dx-^fy = g,
il suffit de changer b en —b^ ce qui donne
cf -^ bg ftg — cd
'^^Ti'j^ÙC ^~ af^bd'
2° Aux formules relatives aux équations
ax—by= c, dx — fy = g,
il suffit de changer i en — i et / en — /, ce qui donne les formules
— c/" -+- bg bg ~ cf ag — cd
•^= af-^bd^ bd-of ^^^ Od — af
La démonstration serait absolument la même que celle de l'exemple précédent; nous pouvons donc la passer sous silence.
§ IV. — DISCUSSION GÉNÉRALE DES PROBLÈMES ET DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.
G6, Afin de pouvoir généraliser la discussion des problèmes du premier degré à une ou plusieurs inconnues, nous allons nous proposer d'établir des formules qui puissent représenter les valeurs des inconnues, pour un système quelconque d'équations renfermant un pareil nombre d'inconnues.
Mais auparavant nous démontrerons un principe général applicable aux équations de tous les degrés, et dont le principe (50) n'est qu'un cas particulier.
Si l'on a deux ou plusieurs équations
entre deux ou plusieurs inconnues a;, j, z, w,. . . (le nombre de ces inconnues pouvant être différent de celui des équations) :
1° On peut à Vune de ces cquathns, substituer le rcsultdt de la combinaison, par addition ou soustraction, de deux ou plusieurs d'entre elles, pourvu que Pécjuation remplacée soit une de celles cjui otit été combinées.
Ainsi, à l'équation A = B, par exemple, on peut substituer l'une des équations suivantes :
(a) A-i-C = B^D, ou A — C-=B — D, ou A-:-C-E=- Bh-D-F,. . .
En effet, les équations (i) existant pour un certain système de valeurs de X, j, z, ;/,... , il est clair que chacune des équations (a) doit exister pour le même système. Réciproquement, tout système qui vérifie l'une des équations (a) et les équations C — D, E = F, G -- H doit nécessairement vérifier l'équation A ^- B ; car si l'on considère les équations G — D, E == F, G :^ H, en même temps que l'équation A -^- C — E ~ B -:- D — F, par exemple j on trouve, en retranchant de celle-ci l'équation G == D, membre à membre, et ajoutant au résultat l'équation E = F, aussi membre à membre; on trouve, dis-je,
A- C-E-Gh-E = B-;-D — F-D-i-F,
ou, réduisant, A = B.
a° On peut même, avant de combiner les équations (i) par addition et soustraction, multiplier d'abord les deux membres d'une ou de plusieurs des équations (i) par un nombre connu.
Car si l'on a A = B, C = D, E = F, on a également
mk = mB, nC -- «D, pE = pF.
et réciproquement : ce qui veut dire qu'au système des équations A — B, C = D, E = F, on peut substituer celui-ci :
/«A = /«B, «C = n D, /jE = pV\
et alors rien n'empêche d'opérer ensuite sur ces dernières équations par addition et soustraction.
67. Venons maintenant à notre objet. D'abord, toute équation du premier degré à une seule inconnue peut, au moyen des transformations usitées, être ramenée à la forme
ax = b;
a désignant la sojiime als;éhrique des quantités qui multiplient l'inconnue, et b la somme algébrique des termes tous connus, ■^ette équation donne
et il est bien évident qu'aucune quantité différente de celle qui est exprimée par - ne peut vérifier l'équation proposée.
Observons, en second lieu, que toute équation du premier degré à deux inconnues peut être représentée par
ax -\- by = c
{a, b, c étant des quantités entières de signes quelconques).
En effet, si l'équation proposée renferme des dénominateurs, on les fait d'abord disparaître (44); réunissant ensuite tous les termes affectés de x et tous les termes affectés de y dans le premier membre , puis faisant passer tous les termes connus dans le second membre, on peut désigner la somme algébrique (62) des premiers par ax^ la somme algébrique des seconds par by^ et la somme algébrique des derniers par c.
Soient donp proposées les deux équations
(i) ax-^ by = c,
On obtient, en multipliant la première par i', la seconde par 6, et retranchant le second résultat du premier,
ch* — bc
( 3 ) ( ah' — bci'\ X ^ cb' — bc' ; d'où x = —r, 7— ,♦
Observons ici qu'en vertu du principe (66) les équations (i) et (2) peu-
vent être remplacées par les équations (i) et (3). Or celte dernière donne pour X une valeur unique , qui, substituée dans l'équation (i), ne peut donner qu'une seule valeur pour y. Donc les équations proposées ne sauraient admettre qu'un seul système de valeurs pour les deux inconnues.
La valeur de y peut d'ailleurs s'obtenir directement par l'élimination de X. Il suffit pour cela de multiplier la première équation par «', la seconde par «, puis de retrancher le premier résultat du second (afin de conserver pour jr le même dénominateur que pour j:). Il vient
[ah' — ba')y=ac' — c«'; d'où y
nb' — ba'
Passons maintenant au cas de trois équations à trois incounues. Soient les équations
(x) ax -f- by -i- cz = ci,
Pour éliminer s, multiplions la première équation par c\ la seconde par c, et retranchons le second résultat du premier ; il vient ainsi
(4) [ac' — ca')x-\- [bc'— cb')y= de' — cd'.
Combinant de même la seconde équation avec la troisième, on trouve
et l'on doit déjà observer (66) que les équations (i),(2), (3) peuvent être remplacées par les équations (i), (4), (5).
Actuellement , pour éliminer y, il faut multiplier l'équation ( 4) par b'c"— c'b", l'équation (5) par bc'— cb', puis retrancher le second résultat du premier, ce qui donne
[{ac'— ea'){b'c"— c'b") - (a'c"— c'a") [bc' — cb')']x = [de'— cd'){b'c"- c'b") - [d'c"- c'd"){bc'-cb'),
ou, effectuant les calculs, réduisant, et divisant par c',
[ab'c"- ac'b"-^ca'b"— ba'c"-^ bc'a"— cb'a") .r,
^^^ \ = db'c"- dc'b"-^ cd'b"- bd'c"-^ bc'd"— cb'd",
équation qui donne pour x la valeur unique
db'c"— dc'b"-\- cd'b" -bd'c"-+- bc'd"- cb'd" ^ - ab'c"- ac'b"-^ ca'b" - ba'c"-\- bc'a''— cb'a!''
D'ailleurs, comme les équations (i), (4), (5), et, par conséquent, les équations proposées peuvent être remplacées par les équations (i ), ( 4), (6), si l'on reporte la valeur unique de x dans l'équation (4), on obtiendra une valeur unique pour j; et si l'on substitue le système unique des valeurs de X et de y dans l'équation (i), on obtiendra une valeur unique pour z. On voit donc que les équations proposées admettent un seul système de valeurs pour x^ y, z.
Les valeurs de y et de z peuvent, au reste, s'obtenir directement en effectuant, pour éliminer x et z, ensuite x et j, des calculs analogues à ceux qu'on a effectués pour éliminer/ et z.
On trouverait ainsi
- ^^'g"- ac'd"-^ ca'd"— da'c"-^ dc'a"-cd'a" ^ - ab' c" — ac' b" -^ ca' b" - ba' c" + bc'd'—cb'a"'
ab'd"— ad'b"-r- da'b"—ba'd"-^bd'a"-db'a" ^- ab'c"—ac'b"-hca'b"—ba'c"-hbc'a" — cb'a"'
On voit assez la marche qu'il faudrait suivre si l'on avait quatre équations à quatre inconnues, etc.
68. L'emploi des accents, dans les notations des coefficients, a donné lieu à l'observation d'une règle d'après laquelle on peut facilement retrouver les formules précédentes, sans être obligé d'effectuer l'élimination.
Considérons d'abord le cas de deux équations à deux inconnues. On a trouvé, pour les valeurs,
cb' — bi
ab' — Ou' ab' — ba'
1° Pour obtenir le dénominateur commun à ces deux valeurs, formez avec les lettres a et b, qui désignent les coefficients de x et de y dans la première équation, les deux permutations ab et ba, puis interposez le signe — , ce qui donne ab — ba; enfin, accentuez dans chaque terme la dernière lettre : il vient
ab'-ba'.
2° Pour obtenir le numérateur relatif à chaque inconnue, remplacez, dans le dénominateur, la lettre c^ui désigne le coefficient de cette inconnue, par la lettre qui désigne la quantité toute connue, en laissant toutefois les accents à la même place. D'après cette règle, ab' — ba' se change en cb' — bc', pour In valeur de x, et en ac' — ca' pour la valeur de y.
Considérons actuellement le cas de trois équations à trois inconnues,
Ç)0 CnAPITUE II.
n, ù, c désignant respectivement les cocllicients de x, j, z, et d les quantités toutes connues.
1° Pour avoir le dénominateur commun, prenez le dénominateur ob — ba, qui convient au cas de deux inconnues ( abstraction faite des accents), introduisez la lettre c dans chacun des deux termes ab et ba à toutes les places, savoir : à droite, cm milieu, et à gauclie; puis, interposez des signes alternativement positifs et négatifs ; il en jésuite
abc — ach -;- cab — bac -r- bcn — cbà ;
mettez ensuite dans cliaquc terme F accent ' sur la deuxième lettre, et r accent " sur la troisième lettre ; il vient, pour le dénominateur,
ab' c" - ac' b" -^ ca'b"- ba'c"-^ bc'a"- cb'a".
2° Pour former le numérateur de cluique inconnue, remplacez, dans le dénominateur, la lettre qui désigne le coefficient de cette inconnue par la lettre qui désigne la quantité toute connue, en laissant les accents à la même place. Ainsi, pour x, changez a en d; pour y, b en d; et pour s, c en cl.
Ce que nous venons de dire peut être regardé comme un résultat d'observation pour deux et pour trois équations. Il serait facile d'établir une loi générale applicable à un nombre quelconque d'équations ; mais la démonstration en est très-compliquée, et sort tout à fait des éléments. Nous renvoyons, pour cet objet, à la seconde Partie de VJlgèbre de Garnier, à un ouvrage intitulé : Complément de la théoiie des érjuations du pj-emier degré, par M. Desnanot, au Manuel d'Algèbre de M. Terquem, etc.
69. Voyons l'usage qu'on peut faire de ces formules, dans les applications particulières.
Soient les deux équations
5x — 7j>' = 34, 3.r — iSj"-- — 6.
• En les comparant aux équations générales,
ax -h bj =: c, a'x -+- b'y = c', on a
Substituons ces valeurs dans les formules
cb' — bc' ac' — ca'
ab'—ba'^ "^ ab' — ba
il vient
et je dis que x = 11, y— 3 sont les valeurs propres à satisfaire aux deux équations proposées.
Nous pourrions d'abord nous en assurer en les substituant dans ces équations, filais, afin que la démonstration soit indépendante de tout exemple particulier, remarquons que, pour passer des formules relatives aux équations
aa: -i- bf ~ c, a'.z -:- b' y = c',
à celles qui com-iennent aux équations
ax — by ^ c, a' x — b'y = — c',
il suffit (65) de changer i en —bj b' en — b\ et c' en — c\ ce qui donne
ex — b' — [ — b) >< — c' « X — c' — c X a'
et pour déduire de ces nouvelles formules générales les valeurs qui conviennent aux équations particulières, il faut faire
Donc, enfin, on obtient les valeurs relatives aux équations proposées, en faisant dans les formules générales,
et effectuant ensuite les calculs d'après les règles établies pour les quantités monômes.
La règle consiste, en général, à substituer à la place des coefficients a, b, a', b\. . ., leurs valeurs considérées avec les signes dont elles sont affectées dans les équations particulières, et à effectuer toutes les opérations indiquées, d'après les préceptes établis.
Ces applications justifient de nouveau la nécessité d'étendre aux quantités monômes les règles des signes établies pour les polynômes, puisque
c'est le moyen de rendre les formules générales du premier degré applicables à tout exemple particulier.
Passons à la discussion de ces formules.
70. Il résulte de leur inspection que, dans les applications particulières, on peut obtenir quatre espèces de valeurs pour réponse à des problèmes du premier degré, savoir : des valeurs positives, des valeurs négatives,
des valeurs de la forme -■, enfin, des valeurs de la forme -• Le problème des courriers a donné lieu à ces quatre sortes de résultats que nous nous proposons maintenant d'interpréter d'une manière générale.
D'abord, les valeurs positives sont ordinairement des réponses aux questions, dans le sens de leur énoncé. Cependant nous observerons que, pour certains problèmes, toutes les valeurs positives ne satisfont pas à l'énoncé. Si, par exemple, la nature du problème exige que les nombres cherchés soient entiers, et qu'on trouve des nombres fractionnaires, le problème ne peut être résolu. Quelquefois encore la nature du problème ne permet pas que les nombres inconnus surpassent des nombres connus et donnés à priori, ou soient au-dessous d'autres nombres. Si les valeurs obtenues, quoique positives, ne satisfont pas à cette condition que comporte l'énoncé, mais qui ne peut s'exprimer par une équation, le problème ne peut encore être résolu. Ainsi, les valeurs positives des inconnues sont, à proprement parler, des réponses directes aux équations; et elles ne sont des solutions de la question qu'autant que leur nature se concilie avec les conditions qu'exige l'énoncé. Pour concevoir comment un nombre peut vérifier une équation sans vérifier le problème dont elle est la traduction algébrique, il suffit de remarquer qxx'une même équation est kl traduction algébricfie d'une infinité de problèmes, dont les uns admettent tous les nombres absolus possibles pour solution, et les autres n'admettent que des nombres d'une certaine nature.
71. Nous savons déjà à quoi nous en tenir sur les valeurs négatives, pour les problèmes à une seule inconnue. Afin de ne rien laisser à désirer, nous allons démontrer le principe du n° 59 pour un problème à plusieurs inconnues.
Il est évident d'abord que, si l'on obtient des valeurs négatives pour quelques-unes des inconnues, les équations du problème ne peuvent être satisfaites dans le sens oîi elles ont été établies ; car si un système de nombres absolus, mis pour a:, j, z, . . . , pouvait les vérifier, les équations qui en ont été déduites par la méthode d'élimination devraient elles-mêmes exister pour ce système. Ainsi l'équation qui ne renferme plus qu'une des inconnues pour lesquelles on a obtenu un résultat négatif devrait être
vérifiée -par un nombre absolu, ce qui serait contre l'hypothèse. Il faut donc rcctljîcr V énoncé du problème, ou du moins les équations c^ui en sont la traduction algébrique.
Actuellement, si, dans les équations, on change les signes des inconnues pour lesquelles on a obtenu des résultats négatifs, les termes affectés de ces inconnues changeront nécessairement de signe, et l'énoncé du problème sera généralement modifié en ce que certaines quantités, d'additivcs qu'elles étaient, deviendront soustractives, et réciproquement.
Je dis enfin que, ces modifications une fois faites, le nouvel énoncé est vérifié par les valeurs obtenues d'abord pour les inconnues, abstraction faite de leurs signes. Prenons, pour fixer les idées, trois équations à trois inconnues
ax -T- by -^ cz=^ d^ d x h- h' y -~ c' z^= d\ a"x -+- b"y -+- c" z = d'\
et supposons que ces équations aient donné
Changeons, dans ces équations, y, z, en y', z' {y\ z' désignant pour le moment — r, — s) ; il vient
ax -f- by'-i- cz' =^ d, a' x -r- b'y' -r- c'z' = d' , a"x -t- b"y'-i- c"z'= d" .
Or ces équations, ne différant des précédentes qu'en ce que j et z sont remplacés par j' et z', donneront nécessairement pour résultats
d'où, remettant —y et — z à la place de j' et de z',
ou bien enfin,
^ = Pi y = 1-1 z = r. c, Q. F. D.
Ainsi, le principe (S9) est vrai pour les problèmes du premier degré à (lusieurs inconnues.
N. B. — Quelquefois l'énoncé d'un problème n'est, par sa nature, susceptible d'aucune modification ; dans ce cas, les valeurs négatives ne sont que des solutions des équations modifiées, qui peuvent d'ailleurs être regardées comme la traduction algébrique d'autres problèmes susceptibles de modification.
72. Il nous reste maintenant à interpréter les expressions telles que
9'î CHAPITRE II.
Soil d'abord l'équation à une inconnue
ax = 0: a ou X = ~ ' ' a
1° Si, pour une hypothèse particuHère faite sur les données de la question, on a
a — o, il en résulte x
Or l'équation devient, dans ce cas, o x ^ = ^, et ne peut évidemment être satisfaite par aucun nombre déterminé. Remarquons cependant que
l'équation pouvant aussi se mettre sous la forme - = o, si l'on remplace
X par des nombres de dlus en plus grands, - différera de moins en moins de o, et l'équation approchera de plus en plus d'être exacte ; en sorte qu'on peut prendre pour x une valeur assez grande pour rendre —
moindre qu'aucune quantité assignable.
C'est pour cette raison que les algébristes ont coutume de dire que Viiifini satisfait, dans ce cas, à l'équation ; et il y a des questions pour lesquelles ces sortes de résultats forment une véritable solution. Du moins, il est certain que l'équation ne peut admettre de solution en nombre y?/?/; et c'est tout ce qu'on peut prouver.
2° Si l'on a, en môme temps, « = o, 6 == o, la valeur de x prend la
forme -• o
Or l'équation devient, dans ce cas, o x ar = o ; et tout nombre fini, positif ou négatif, peut satisfaire à cette équation.
Ainsi V équation (ou le problème dont elle est la traduction algébrique) est indéterminée .
73. C'est ici le lieu de faire une remarque importante sur l'expression
-, qui, dans certains cas, est le symbole de l'existence d'un facteur commun aux deux termes de la fraction, lequel facteur devient nul par l'effet d'une hypothèse particulière.
Supposons, par exemple, qu'on ait trouvé pour résultat de la solution d'un problème
DISCUSSION GÉNÉRALE CES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. qS
Si l'on fait, dans cette formule,
a = h. il en résulte ^ = -• o
Mais remarquons que ic' — b^ peut (31 ) se mettre sous la forme
et que ci' — b^ est égal ?^ [a — b) [a -r- b) \ ainsi la valeur de x revient à
[a — b) [a^ -i- ab -h b^)
Or, si avant de faire l'hypothèse a = b, on commence par supprimer le facteur commun a — b, la valeur de x devient
n' ^ nh -- /;'
a-^-b ' expression qui, dans l'hypothèse de « = è, se réduit à
3rt
OU
•la
Soit, pour second exemple, l'expression
câ - b' [a^b] [a-b] [a — /;)-"" [a — b] [a — b)'
En faisant n = Z», on trouve, pour valeur de jr, x= -■> à cause de l'existence du facteur commun, a — b\ mais si l'on supprime d'abord ce
facteur, il vient x = -j^ expression qui se réduit à a: = — ■ lorsque
l'on fait rt = b.
Concluons de là que le symbole - est quelquefois en Algèbre F indice
de V existence d'un facteur comnmn entre les deux ternies de la fraction qui se réduit à cette forme. Ainsi, avant de rien prononcer sur la vraie valeur de la fraction, il faut s'assurer si ses deux termes ne renferment pas un facteur commun. Dès qu'il n'en existe pas, on conclut que l'équation est réellement indéterminée. S'il en existe un, on le supprime, puis on fait de nouveau l'hypothi'se particulière ; et l'on arrive à la vraie valeur
de la fraction, laquelle peut encore se présenter sous trois formes, -rr (A
pouvant être nul sans que B le soil), — ? -; auquel cas l'équation eside.
terminée, impossible en nombre fini, ou indéterminée . Cette observation est très-utile dans la discussion des problèmes.
74, Revenons à notre sujet, et considérons maintenant les deux équations à deux inconnues
ox -r- by = c, a'x -+- b'y = c',
pour lesquelles on a trouvé (67)
cb' — bc' ac' — ra'
au' — ba' ~ ab' — ba'
Supposons que l'on ait
ab' — bn ^= o,
cb' — bc', ac' — ca' étant différents de o. Les valeurs de x et de y se réduisent à
Tour interpréter ces résultats, observons que, de l'équation ab'— ba' =0,
on tire a' = -j-; d'où, substituant dans l'équation a'x h- b'y— c', et
divisant par -y- 5
ax -h by —
bc'
équation dont le premier membre est identique avec celui de la première ax -i- by = c,
tandis que le second membre est essentiellement différent ; car de l'iné-
bc' galité cb' — bc' ^ o, on déduit c ^ — •
On voit donc que les deux équations proposées ne peuvent être satisfaites simultanément par aucun système de valeurs finies de x et de y. Si Ton a en même temps : ab' — ba' = o, cb' — bc' = o, la valeur de
X se réduit à x = -, valeur qu'il faut interpréter.
Les deux équations proposées peuvent, en vertu de la relation ab' — ba' = o, se mettre sous la forme
ax -i- uy = c, a X — by = -jy 1
équations qui rentrent nécessairement l'une dans l'autre ; car de la rela-
tion eu — bc = o, on déduit c — -r-r-
Ainsi, pour résoudre le problème, on n'a réellement qu'une seule équation entre deux inconnues : donc la question est indéterminée.
Comme la relation ah' — ba' — o donne b' = — •, d'oili, substituant
dans la relation cb' — bc' = o, et réduisant, ac' — ca' = o , on peut en conclure que, si la valeur de x est de la forme -■, la valeur de y est généralement de même forme ; et réciproquement.
TS. Cette proposition, relative au système de deux équations, cesse d'être vraie dans un seul cas particulier : c'est celui où les coefficients d'une même inconnue sont nuls à la fois dans les deux équations. Examinons cette circonstance qui mérite quelque attention.
Supposons, par exemple, b = o, b' = o\ auquel cas les valeurs de x et
de / se réduisent à
o ne' — ra'
X = - et j)-
Si nous remontons aux équations, elles deviennent, dans l'hypothèse
que nous considérons,
ax—c. a'x^c', d'où l'on déduit x=~ et x — —r-
Or il arrive nécessairement de deux choses l'une :
c c' Ou bien - ^ -7 : alors les équations sont incompatibles ; et la valeur
de r est de la forme - ou infinie, tandis que x est de la forme -• •^ o -^ ^ o
c c' Ou bien - — — : alors les deux équations s'accordent entre elles. De a a
c c' plus, comme la relation - = — r donne ac' — ca' = o, il s'ensuit que la
valeur de j)' prend la forme -•, comme celle de x\ mais il y a cette différence essentielle, que y est réellement indéterminé, tandis que x a une
valeur déterminée, — a
Au surplus, dans l'hypothèse qui nous occupe, savoir, b = o, b' = o,
ac' — ca' = o, il est facile de faire ressortir l'existence d'un facteur commun
qui rend nuls à la fois les deux termes de la valeur générale de x.
Alg. B. 7
98 CIIAPITUE II.
Soit posé, pour cela,
d c' . b' /«—— — -, et /i = -.- :
il en résulte
a' -~ ma, c' ~ me, et b'~nb,
ch'- br\
d'où, substituant dans la valeur générale de .r, ix= -— :— \ , ces
' \ (lU — Cil j
valeurs de a' , c', b\ il vient
bcn — cbin cb[n — m ) abn — bam ab [n — /// )
expression qui, après la suppression des deux facteurs communs b rt
n — m , se réduit a .r = - • a
Quant à la valeur générale de y, ( y = -— — — ; ] 1 elle devient, par j'es
mêmes substitutions,
acm — cam ac ( m — /;? ) r ( m — m \
abn — bain ab{n — m) b[n
expression qui, à cause de b -- o et /;/ —.m ^ o, se réduit toujours à -i
sans qu'il y ait aucun facteur commun à supprimer; et nous avons vu qu'en effet j doit rester indéterminé.
iV. H. — Le cas particulier où les coefficients des deux inconnues dans la même équation sont nu/s à la fois n'infirme pas la proposition établie au n" 74.
On trouve :
1" Pour a — 0, b = 0,. . .
cb'
— ca'
2° Pour a'= o, b'— o,, . . ,
- bc'
Ce sont là les seules circonstances dignes de remarque.
7fi. Nous venons de voir que, pour deux équations à deux inconnues, à l'exception d'un seul cas particulier, si l'une des inconnues a une valeur
de la forme - ou -j l'autre a nécessairement une valeur de la môme o o
DISCUSSION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. qy
forme; de plus, que, dans Fliypothèse où les valeurs sont toutes deux de la forme — j les équations sont incompatibles, et que, si elles sont de la
forme -■, les équations sont indéterminées.
On ne peut plus tirer les mêmes conséquences dès que l'on a plus de deux équations. Ainsi, par exemple, quand il s'agit de trois équations, si l'on suppose nul le dénominateur commun aux valeurs des trois inconnues, il pourra arriver, suivant les circonstances : ou bien que les numérateurs soient tous trois différents de zéro ; ou bien , qu'ils soient tous trois é(:!;aux à zéro; ou bien , enfin , que l'un des deux étant égal à zéro, les deux autres soient différents de zéro; ou réciproquement.
Cela s'explique assez bien par l'observation que, pour deux équations, le dénominateur ah' — ba\ étant composé de deux termes seulement, ne peut être nul que de trois manières principales, savoir, lorsque l'on a :
ou bien
tandis que, pour trois équations, le dénominateur D étant
ab'c"- ac'b"-^ ca'h"~ ba'd'A- bc'd'~ cb'a\
peut être mis sous différentes formes, telles que
a[b'c"— c'b") -i- n'[cb"— hc") -r a"[bc'~ cb'), b[c'a" — a'r")~ b' [ac" — ca") -.- b" [ca' — ac'), c{a'b"~ b'a") -^ e'{ba"- ab") -^ c"(ab'~ ba'),
< t est ainsi susceptible de devenir nul d'un très-grand nombre de manières, sans que les valeurs des numérateurs dépendent les unes des autres.
Par exemple, en supposant qu'aucune des quantités a, b, c; a', b', c'; a", b\ c"; r/, c/', d" ne soit nulle, admettons que l'on ait
b'c"- c'b"^ G, cb"- bc"^ o, d'où bc'— cb'=. o;
le dénominateur D devient zéro ; et comme le numérateur de la valeur de X se déduit de D (68) en changeant a, a' , a" en d, d', d", il est clair que ce numérateur serait aussi égal à zéro ; mais rien ne prouve que les numérateurs qui correspondent à j et à z deviennent nuls dans la même
lOO CHAPITRE II.
circonstance, puisque les quantités b'c" — c'ù", cl" — bc" ^ et bc' — cb' n'entrent pas dans leurs expressions.
Toutefois, dès qu'on obtient pour la valeur de l'une des inconnues une
expression de la forme -■, on peut conclure, sans aucune restriction,
que les équations sont incompatibles en nombres finis, au moins pour cette inconnue. En effet, comme il résulte de ce qui a été dit (67), que l'une des équations proposées peut être remplacée par l'équation qui ne renferme plus que l'inconnue pour laquelle on a trouvé un résultat de la
forme — i il n'y a que ce résultat qui , combiné avec certaines valeurs des
autres inconnues, puisse vérifier les trois équations proposées. Mais de ce qu'on obtient pour l'une des inconnues un résultat de la
forme -î on ne peut pas conclure que les équations sont indétreininécs;
car, ainsi que nous l'avons déjà fait observer, les autres inconnues peu-
vent avoir des valeurs de la forme — •
Il y a plus : c'est qu'il est possible que les trois valeurs soient de la forme -j sans que, pour cela, l'on soit en droit de conclure que les équations sont indéterminées ; elles peuvent même, dans ce cas , être incompatibles.
Prenons pour exemple les trois équations
ax -{- bj' -j- c z = d, a' X -i- h' y -i-c' z = d', ma'x -r- nib'r -+- nie' z = nid\
dont la dernière résulte de la multiplication des deux membres de la seconde par le facteur /«; ce qui revient à supposer dans les équations générales à trois inconnues
et, par conséquent,
on déduit de ces dernières relations
Or, si Ton désigne par D le dénominateur commun aux trois valeurs de x,j', 2, et par N, N', N" leurs numérateurs respectifs, valeurs dont la loi de formation a été établie (G8), on trouve, en vertu des relations ci-
DISCUSSION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. lOI
dessus,
Ainsi , les valeurs de x, j, z se réduisent toutes les trois à la môme
forme -• o
Dans le cas que nous considérons, on peut, jusqu'à un certain point, regarder - comme un symbole dJ indétermination , car la troisième équation est une conséquence nécessaire de la seconde; ainsi, l'on n'a que deux équations réellement distinctes entre trois inconnues. Cependant, observons que les résultats obtenus ci-dessus auraient encore lieu, lors même que la seconde équation serait incompatible avec la première, si 1 on avait, par exemple, pour cette seconde équation,
pax -\- pby -+- pcz — qd {p étant > ou <' q).
On voit donc que les trois résultats - peuvent quelquefois correspondre
à une incompatibilité entre les équations.
L'absurdité peut encore se manifester par trois valeurs de la forme -
bien qu'aucune des trois équations ne puisse être considérée comme rentrant dans l'une des deux autres; c'est ce qui arriverait pour les trois équations suivantes :
ax -+- by -^ cz ~ d, ax -i- by -^ cz =^ d', ax -h by -r- cz = d".
En considérant ces sytèmes, on reconnaît facilement qu'il ne peut exister en nombres yf/^/i-, à moins que l'on n'ait d = d' ^ d". II est vrai que, du moment où cette dernière relation existe, le système des équations devient indéterminé, puisqu'il se réduit à une seule équation entre trois inconnues. Mais il n'en est pas moins certain que, dans leur état actuel, les
équations sont incompatibles, quoique les trois valeurs soient de la forme - >
ainsi qu'on peut s'en assurer en remontant aux valeurs de D, N, N', N" établies ci-dessus.
Prenons, pour nouvel exemple, les équations
ax -A- by -t- cz — d, a' x -\- by -i- cz = d', a" x -{- by-i- cz = d".
102 CnAPITRE ir.
qiic l'on déduit des équations générales en supposant
b = b'-^b\ et r---c'-=c".
On trouve pour les valeurs de D, N, N', N",
D = a{bc — cb) .- a' [cb — bc) -h a" [bc — cb) = o, K -^ d(bc - cb) r- d\cl - bc) -r- (V^bc - rè) = o,
'^' -b[cid ~ acV -r- d'à" ~a'd"-\- du' — da"). Les deux expressions de N', N" doivent être généralement différentes de
zéro; ainsi, dans le cas qui nous occupe, la valeur de a: est de la forme-?
tandis que celles de j et de z sont de la forme —
Pour interpréter ces résultats, observons que les équations ne peuvent exister simultanément, à moins que l'on ait
d' — a' X, d — ax — d" — a"x ;
d'où l'on tire
Ici, comme an n" 7o, il peut arriver de doux choses l'une : Premier cas. Les deux valeurs de .r ne s'accordent pas, c'est-à-dire qxie l'on a
ou, réduisant les fractions au même dénominateur, et supprimant les deux termes -:- ad, — ad, qui se détruisent,
d' a" — d(i" — ad' — a'd" -i- da'-{- ad" ^ o
(il est inutile de tenir compte du dénominateur commun).
Or le premier membre de cette inégalité n'est autre chose que le facteur entre parenthèses, dans les valeurs de N' et N" (au signe près toutefois pour N'). Donc les valeurs de j- et de z se présentent sous la forme infinie,
ou — j quoique celle de x soit de la forme - •
Second cas. Les deux valeurs de x s'accordent entre elles, ce qui entraîne la relation
DISCUSSION GÉNÉUALE DES ÉQUATIONS DU. PREMIER DEGRÉ. Io3
Ci;
(V u' — da" — ad' — a' d' -\- du' 4- ad" — o;
et alors les deux valeurs de y et de z se réduisent à - comme celle de x.
Mais tandis que la valeur de x est déterminée et éeiale à —, ou —r. 1
a — Cl a — (i
celles de j' et de z sont indéterminées, puisque l'on n'a plus, entre ces deux
inconnues, que l'équation unique
, , da' — ad'
or -T- cz -^ d — ax — •
Ce cas particulier est analogue à celui (75), qui se rapporte à deux équations à deux inconnues.
Les exemples précédents sufBsent pour convaincre que, si le symbole — dénote toujours un système d'équations auxquelles jl est impossible de satisfaire, du moins en nombres y?/2/,v, le symbole - est tantôt un caractère
ùlndétcrnnnation, tantôt un caractère A' absurdité. Quelquefois aussi (73) il annonce la présence d'un facteur commun ; et ce qu'on a de mieux à faire pour interpréter de pareils résultats, c'est de remonter à l'équation ou aux équations qui y ont conduit.
77. Lorsqu'on opère directement sur des équations particulières, on parvient à d'autres caractères d'absurdité ou d'indétermination. Premier exemple. Soient les trois équations
2x ;- 3j: — z — iG, 5x — ^ 2j- -i- 7Z — 21, y^r -h j' -)- 62 =- Sy,
dont la dernière résulte de l'addition des deux premières, membre à membre. En calculant D, N, N', N", d'après les formules générales, et conformément au principe du \\° 09, on trouve successivement D -= o, N = o,
K' --- o, N " - o. Ainsi les valeurs de x, j; z sont toutes trois de la forme - •
Mais opérons directement sur ces équations.
Si l'on élimine z entre la première et la seconde équation, puis entre la première et la troisième, d'après les méthodes connues, on parvient aux deux équations
igjT-T- 19) — i33, 19a: -H I9J- = i33,
d'où, retranchant de nouveau ces deux équations l'une de l'autre,
o ~- o, égalité qui n'apprend rien ni pour x, ni pour r.
Io4 CnAl'ITRE II.
En remontant à l'une des deux équations précédentes, qui, toute simpliûcation faite, devient
on pourra donner à x toutes les valeurs imaginables, ce qui fournira pourj des valeurs correspondantes tirées de cette dernière équation. Reportant ces valeurs de x et de j dans l'une des trois équations proposées, on obtiendra autant de valeurs correspondantes pour z. Soit fait, par exemple,
j; = 1 , 2, 3, 4, • • • , il en résulte j = 6, 5, 4, 3, . . . ,
d'où, substituant dans la première équation du système donné,
et tous ces systèmes, en nombre infini, vérifient les trois équations proposées.
Le symbole -j obtenu dans cet exemple pour les trois inconnues, correspond donc ici à une indétermination, comme l'égalité o = o, à laquelle on est parvenu en opérant directement sur les équations.
Deuxième exemple. Soient les équations
2x-T-3jK — 2=i6, 5^ — 2j'-i- 7Z — 21, 3ar — 5j'-f-8z— 12.
Pour former la troisième, on a retranché la première de la seconde, en ajoutant toutefois le nombre 7 au second membre de l'équation résultante. Le système est donc absurde ; aussi, en calculant les valeurs de D, N, N', N", au moyen des formules générales, on obtiendrait successivement
ce qui donnerait pour les trois inconnues des valeurs de la forme — •
Mais, en éliminant directement z entre la première et la seconde équation, puis entre la première et la troisième, on parvient aux équations
19x4- igjr = i33, et 19^:-+- 197= 140;
d'où, retranchant de nouveau ces équations l'une de l'autre,
égalité absurde qui fait ressortir l'incompatibilité des équations proposées. Troisième exemple. Soient les deux systèmes
(i) jr-+-9) -4-6z — 16, 2X-+- 3/-r- 2Z= 7, 3jr-f-6j-f- 4=-- i3, (2) x-H9/-,-6z— 16, 2j:-f- 3j-T- 2Z-- 7, 3.r-r- 6j-t- 4^— 19»
DISCUSSION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. Io5
que l'on peut considérer comme un cas particulier du dernier exemple général discuté ( 76 ) ; car en divisant les deux membres de la première équation de chaque système par 3, et les deux membres de la troisième équation par 2, on obtient les nouvelles équations
- JT-f- 3r^-22= ^-5 2J7-i- 3rH- 2Z = 7, - X -i- 3 >' -H- 2 3 = ?
-;c-;-3y-î- 2z= -TT-, 2x-i- 3r— 23= 7, -x-^Zy -\-%z= -^' 3 "^ 3 " " 2 -^ 2
II y a toutefois entre les deux systèmes cette différence que, pour le pre-
mier, la relation -; = —, du n° 76 est satisfaite, et qu'elle ne
l'est pas pour le second.
Cela posé, l'élimination de s entre la première et la seconde équation, puis entre la seconde et la troisième du système (i), donne les deux résultats identiques, x—\,x=\. Substituant cette valeur dans les trois équations du même système (i), on parvient, toute réduction faite, aux équations
3j-t-2z=5, 3j-i-23=5, 3/-7-2c=5, qui, par l'élimination de j- ou de 3, donnent lieu à Tégalité
Ce résultat correspond aux valeurs de la forme - ; trouvées pour les trois inconnues au moyen des formules générales. Il faut se rappeler toutefois (7G] que le symbole -•, obtenu pour .r, avait une valeur déterminée
qui est ici a: = i , et que le même symbole obtenu pour y et 3 indiquait une indétermination .
En répétant les mêmes calculs par rapport au système (2), on obtient
X = i, et X = — 5.
La valeur x = i portée dans la première et dans la seconde des équations du système ( 2 ) donne
et la valeur x= — 5 portée dans la seconde ou la troisième équation du même système donne
3jH-2z= 17;
Io6 CHAPITRE II.
si l'on élimine j et z entre ces équations et la précédente, on trouve
égalité absurde qui correspond à la valeur - trouvée pour .r, et aux vr.-
leurs de la forme — obtenues pour y et pour z.
Les résultats o — o, o = A, auxquels on parvient quelquefois en Iraitan' directement des équations particulières, ont donc la môme significatic:;
que les syn)boles -> — 5 que l'on obtient en appliquant les formules générales à des exemples particuliers.
78. Nous terminerons la discussion des équations du premier degré par l'examen d'un cas très-important : c'est celui où, dans les équations générales, on suppose nulles à la fois toutes les quantités connues qui sont dan.le second membre. Dans ce cas, il suit évidemment de la loi de formation des numérateurs pour les valeurs générales des inconnues (68), que ces numérateurs s'anéantissent tous en même temps, c'est-à-dire que l'on a A = o, B = o, . . . . Comme d'ailleurs il n'existe aucune relation particulièreentre les coefficients «, 6, c, «', Z»', c', . . . des inconnues, la valeur de D. qui résulte d'une certaine combinaison de ces coefGcients, est généralemer. ! dilïérente de o. Ainsi l'on a, pour valeur des inconnues, x = o, y=o^ s = o, ... ; et ces valeurs vériGent évidemment les équations proposées.
Si cependant, oulre l'hypothèse que les quantités connues du secon-I membre soient nulles à la fois, on a encore entre les coefficients des inconnues la relation D — o, les valeurs générales se réduisent à la forme
a; = -) r = -5 etc.
Or je dis que, dans ce cas, les éq^iations sont indéterminées, niais qi'.e les rapports des inconnues sont des nombres déterminés, qu'on peut obtenir à l'aide des équations proposées.
Soient, en effet, les trois équations
ax -■- by -i- cz --= o, a' x -;- b'y -:- c's = o , a"x -■- b"y -r- c" z ^ o, dans lesquelles on suppose (07) que l'on ait D = o, ou
ab'(" — ac'b"-i- cet b" — ba' >. "-f- hc' a' — cb'd - o. Elles peuvent être mises sous la forme
Or on lire des deux premières, en traitant — et - comme deux inconnues,
X bc' — cb' Y en' — ac' z ab' — ba' z aU — ba'
D'où l'on voit qu'e/2 donnant à z des valeurs entièrement arbitraires, les i^aleurs de x et de y s^ obtiendront à Vaide de ces deux proportions dont les seconds rapports sont constants et éi^aux à des quantités connues.
Mais il reste à savoir si ces valeurs satisfont à la troisième équation, qui devient alors une équation de condition. Or on trouve, en les substituant dans cette équation,
n ^^' — ^■^' in ^^ ca' — ac' „ ab' — ba' ' ^^ ab' — ba' '
ou, réduisant et écrivant les termes dans un ordre convenable,
ab' c" — ac' b" -\- ca'b" — ba'c" -^ bc'a" — cb' a" = o,
condition qui, par hypothèse, est satisfaite.
79. Ceci nous conduit naturellement à l'examen d'une circonstance dont le second problème du testament, résolu (49), nous a ofTert un exemple : c'est celle où l'énoncé de la question conduit à un nombre d'équations réellement différentes, plus grand que celui des inconnues à déterminer.
Supposons, pour plus de généralité, que la question renferme n inconnues, et donne lieu à m équations différentes, m étant > n. Il faut cVabord combiner entre elles un nombre n des équations proposées, pour en tirer les valeurs des n inconnues ; substituer ensuite ces valeurs dans les [m — //) équations /-estantes, ce qui donne lieu à autant de relations entre les données ; et ces dernières relations doivent être vérifiées, pour que le problème soit possible, tel qu'il a été énoncé. Les [m — n) relations aine; obtenues se nomment des équations de condition.
80. Récapitulation de la discussion précédente. — Il résulte de cette discussion :
1° Qu'un système d'équations du premier degré à pareil nombre d'inconnues ne peut être, en général, satisfait que d'une seule manière ( 67) ;
2° Que toute valeur positii'e, trouvée pour une inconnue, répond directement aux équations du problème, sans répondre toujours à l'énoncé (70);
3° Que toute valeur négative ne répond qu'indirectement à l'énoncé ou aux équations qui en sont la traduction algébrique, mais répond toujours aux équations considérées dans un sens purement algébrique (59 et 71 ) ;
io8 cnàPiTRE II.
4° Que toute expression de la forme — 5 trouvée pour une ou plusieurs
des inconnues, indique une incompatibilité dans le système d'équations proposé, du moins l'impossibilité d'y satisfaire en nombres finis pour toutes les inconnues (72, 74 et 76) ;
5° Que le symbole -> obtenu pour une ou plusieurs inconnues, correspond, soit à une indétermination, soit à une incompatibilité (72, 74, 75, 76), soit à la présence d'un facteur commun entre les deux termes de chaque fraction qui s'est réduite à cette forme (73) ;
6° Que, si tous les seconds membres du système d'équations proposé sont nuls, les valeurs se réduisent généralement à o; que si, à cette hypothèse, on ajoute celle que le dénominateur commun des valeurs des inconnues soit o, le nombre des systèmes de valeurs est infini; mais ces valeurs sont assujetties à avoir entre elles des rapports constants (78);
7° Que, lorsque le nombre des équations est plus grand que celui des inconnues, le problème n'est possible qu'autant que les valeurs des inconnues déterminées par un nombre d'équations égal à celui des inconnues satisfont aux autres équations (79).
81 . Voici les énoncés de nouveaux problèmes susceptibles de discussion, ou dont la résolution présente quelque intérêt :
Quatorzième problème. — Un banquier a deux espèces de monnaies : il faut a pièces de la première pour faire un écu ; il faut h pièces de la seconde pour faire la même somme. Quelqu'un vient et demande c pièces pour un écu. Combien le banquier lui donnera-t-il de pièces de chaque espèce pour le satisfaire ?
T,' re « a{c — h) , b{a — r] Rep. i" espèce, — ^^ -. — 5 2* espèce, ^•
QuiNziÈsiE PROBLÈME. — Trouver les deux côtés contigus d'un rccta/igle, en supposant ; 1° que ces deux côtés soient entre eux dans un rapport donné m; n\ 1° que, si l'on augmente ou diminue les côtés de ce rectangle des quantités données a et b, la su/face soit augmentée ou diminuée de la quantité p.
En supposant les côtés augmentés, on trouve
mlj) — ab] ^ n{p — ah)
na -f- lub na h- mb
Seizième problème. — On demande les biens de trois personnes, A, B, C, sachant : 1 " que la somme du bien de A et de l fois les biens de^ et C
est égale à p\ 1° que la somme du bien de B et de m fois les biens de A et C est égale à q\ 3° que la somme du bien de C et de n fois les biens de A et B est égale à r.
(Cette question est susceptible d'être résolue assez simplement par l'introduction d'une inconnue auxiliaire dans le cours du calcul : cette inconnue est la somme des trois biens.)
Dix-septième problème. — Trouver les biens de 6 personnes A, B, C. D, E, F, d'après les conditions suivantes : 1° la somme des biens de A et B est a ; celle des biens de C et B est b ; la somme des biens de E ^? F est c\ 1° le bien de A vaut m fois le bien de C ; le bien de D vaut n fois le bien de E ; le bien de F vaut p fois le bien de B.
(Ce problème peut être résolu par le moyen d'une seule équation à une seule inconnue.)
Ces différents énoncés sont extraits de V Algèbre de M. Lhuillier, de Genève, ouvrage recommandable par le cboix des questions qu'il propose pour Exercices.
IIO CnArlTKK III.
RÉSOLUTION DES PROBLÈMES ET DES ÉQUATIONS DU SECOxND DEGRÉ.
82. Introduction. — Lorsque l'énoncé d'un problème conduit à une équation de la forme ax^= b, dans laquelle l'inconnue est multipliée par clle-môme, l'équation est dite du second degré, et les principes établis dans les deux Chapitres précédents sont insuffisants pour sa résolution ; mais
comme, en divisant les deux membres par a, on obtient jr-= -• il s'en-
suit que la quesiion se réduit à trouver un nombre qui, niuhlplir par litimênic, peut produire le nombre exprimé par - : c'est l'objet de \ extraction de la racine carrée.
Nous avons exposé, dans notre Arithméticpie, avec tous les détails convenables, les divers procédés d'extraction de la racine carrée des nombres particuliers, soit entiers, soit fractionnaires; nous n'avons donc à développer ici que les règles relatives à l'extraction de la racine carrée des expressions algébriques.
§ l. — Formation du carré et extraction de la racine carrée DES quantités algébriques.
83. Considérons d'abord le cas d'une quantité monôme, et pour découvrir le procédé de l'extraction de la racine carrée, voyons comment on forme le carré d'un monôme.
On a, d'après les règles de la multiplication des monômes (16),
c'est-à-dire que, pour élever un monôme au carré, il faut élever son coefficient ail carré, et doubler chacun des exposants des différentes lettres. Donc, pour revenir d'un monôme carré à sa racine, il faut : i° extraire la racine carrée du coefficient, cVaprcs les règles exposées en Aiithnictique^ 2° prendre la moitié de chacun des exposants. Ainsi l'on a
EXTRACTIOX DE LA RACINE CARKÉE, ETC.
et, en eTet,
{8a'lj')-=^ 8rt'Z*-x 8n^b^=^- G^n'b'.
De même
v/G-iOfi-^VV*— iSab^r-, car {ibab''c^Y -= Cyiîa-b^c".
1! résulte de la règle précédente que, pour qu'un monôme soit le carré d'un autre monôme, il faut que son coefficient soit an carré ])arfait, et que Ions ses exposants soient pairs. Ainsi c^Sab* n'est pas un carré parfait, parce que 98 n'est pas un nombre carré parfait, et que a est affecté d'un exposant impair.
Dans ce cas, on fait entrer la quantité dans les calculs, en l'affectant du signe v^, et l'on écrit ainsi : \/()8ab\
On appelle ces sortes d'expressions, des monômes irrationnels, et. plus spécialement, des radicaux du second dcs^ré.
84. On peut, toutefois, faire subir à ces expressions quelques simplifications fondées sur le principe suivant : La racine carrée du produit de deux ou plusieurs facteurs est égcde au produit des racines carrées de ces facteurs ; OU, en langage algébrique,
sjabcd. . . = \^ a'\jb- \'c*\fîL' • - .
Pour démontrer ce principe, observons que, d'après la djfinilion de la racine carrée d'un nombre, on a
\\/ab(d. . .)' = nbcd' • - • D'un autre côté,
(V^ X^n^X^:..y-= {x^Y-{x^Y'{V^}'. . . - - >:bc. . . .
Donc, puisque les carrés de \fabi\i. . . ot àjè\fa\fbyfc \fd.. . . sont égaux, CCS quantités sont elles-mêmes égales.
Cela posé, l'expression ci-dessus, y^gST^ peut se mettre sous la forme
Or v/496* se réduit (83) à 76'; donc
\/^8a!/ = -jb^ \lia.
On a de même
\l !\bci^b^ c-d = \/^a-b'c' x bbd = 3 abc \/5bd ,
\JS(i^a'b''c" ~ v'i44a'6'c'* x 6bc = i^ab^c' \/6bc.
En général, pour simplifier un monôme irrationnel, mettez en évidence tous les facteurs carrés parfaits, et extrayez-en la racine ( 83 ) ; puis placez le produit de toutes ces racines en avant du signe radical, sous lequel vous laissez d'ailleurs les facteurs non carrés parfaits.
Dans les expressions yb- \/ia, 3abc \/5ùd, \iab''c^ y/iSbc, les quanlilcs 7^^ Zabc^ iiab^c^ s'appellent les coefficients du radiccd.
83. Jusqu'à présent nous n'avons pas eu égard au signe dont le monôme peut être affecté. Cependant, puisque dans la résolution des questions, on est conduit à considérer des quantités monômes précédées du signe hou du signe —, il faut savoir comment opérer sur ces sortes de quantités. Or le carré d'un monôme étant le produit de ce monôme par lui-même, il s'ensuit (62) que, quel cpie soit son signe, le carré de ce monôme est positif. Ainsi, le carré de -+- Scrb^ ou de — Sa^b^ est -+- i5 a^b\
D'oii l'on peut conclure que, si un monôme est positif, sa racine carrée peut être indifféremment affectée du signe -+- ou du signe —. Ainsi, v/gô^ = dr 3fl^; car -;- 3«' ou — 3a\ élevé au carré, donne également H-cjrt'. Le double signe = dont on affecte la racine s'énonce plus ou moins.
Si le monôme proposé est négatif, l'extraction de sa racine est impossible, puisqu'on vient de voir que le carré de toute quantité, positive ou négative est essentiellement positif. Ainsi \/ — ^, \/—i\a\ y/— 5 sont des symboles algébriques qui représenlent des opérations impossibles. On les désigne sous le nom de quantités, ou plutôt d'expressions imaginaires : ce sont des symboles d'absurdité que l'on rencontre souvent dans la résolution des problèmes du second degré.
On fait toutefois, par extension, subir à ces symboles les mêmes simplifications qu'aux expressions irrationnelles qui offrent des opérations exécutables. C'est ainsi que (84)
de même
86. Tâchons maintenant de découvrir, pour le carré d'un polynôme quelconque, une loi de formation dont nous puissions déduire un procédé pour l'extraction de la racine carrée.
On a déjà vu (19) que le carré d'un binôme, a -k- b, est égal à
a^-x- lab -+- b^.
EXTRACTION DE L\ RACINE CARRÉE; ETC. Il3
Soit actuellement à former le carré d'im trinôme n-\-b -r-c Désignons, pour le moment, a -+- i par une seule lettre i-; il vient
[a -^ b -r- cf := [s -^ cf = s"^ -\- 1SC -^ c^
Or on a
f- — i^a -\- by = a^-i- lab -i- 6', isc = o. [a -h b) c ~ lac ■+- ihc.
Donc
[a -T- b -^ cf ~ a} -^ -xab -\- b"^ -:- 10C -^ ibc -^ c'^ \
c'est-à-dire que le carré d'un trinôme se compose de la somme des carres (le trois termes et des doubles produits de ces termes multipliés deux à deux.
Je dis que cette loi de composition est applicable à un polynôme quelconque. En effet, supposons-la vérifiée pour un polynôme d'un nombre quelconque de termes, et prouvons qu'elle peut s'étendre à un polynôme renfermant un terme de plus.
Afin d'y parvenir, 'soit a -h è -+- c -+-<-/-+-... — i -+- A- un polynôme composé de m -i- i termes; et désignons par s la somme des m premiers termes « -î- 6 + c -i- f/ h- . . . + « ; .y -i- /■ représente le polynôme proposé,
et l'on a
[s -^ ky =^ s^ -^- ish -^ /c\
ou, remettant à la place de s sa valeur,
[s -i- J;)- = [a -i- b -\- c -h d -\- . . . ^ ly — %Ui -i- b -i- c -r- d . . . ^ i) /,- -i- Â^.
Or la première partie de cette expression se compose, par hypothèse, des carrés de tous les termes du premier polynôme et des doubles produits de tous ces termes multipliés deux à deux; la seconde partie renferme tous 1rs doubles produits des termes du premier polynôme par le nouveau terme introduit k\ enfin, la troisième partie est le carré de ce terme. Donc la loi de composition énoncée ci-dessus est encore vraie pour le nouveau polynôme. Mais elle a été reconnue vraie pour un trinôme; donc elle a lieu pour un polynôme de quatre termes ; étant vraie pour quatre, elle l'est nécessairement pour cinq, et ainsi de suite. Donc elle est générale.
On peut énoncer la loi d'une autre manière : Le carré d'un polynôme renferme le carré du premier terme, plus le double produit du premier terme par le second, plus le carré du second; plus les doubles produits de chacun des deux premiers termes par le troisième, plus le carré du troisième ; plus les doubles produits de chacun des trois premiers termes par leqiuitrième,plus le carré du (quatrième ; et ainsi de suite. Cet énoncé, ^/-. D. 8
Il4 CHAPITIIE Iir.
qui est évidemment compris dans le premier, nous conduira plus aisément au procédé de l'c^traclion de la racine carrée d'un polynôme. On trouvera, d'après cotte loi,
(3rt'— iûù-i- ib'')'^ 9<rr*— i-inH h- ^a^P -^ i^a' b' — iGaP-r- i6b\
ou, réduisant,
9rt* — i2rtV; -i- iSn^lr — iGriP-i- iGb' ;
(5a-b — /iabc-+-6bc''-~ 3frc)=.^ iSa'b''— ^orPb-c-^ y6ab'c\
— /iSab'c' 4- 36b\' — Zocàbc -^ T-l^a^ bc' — Sôfl'^'c-'-H g^'c-.
Passons à l'extraction de la racine carrée.
87. Désignons par N le polynôme dont il faut obtenir la racine, et par R cette racine, que nous supposons pour le moment déterminée; concevons, en outre, que ces deux polynômes soient ordonnés par rapport aux puissances descendantes de l'une des lettres qu'ils renferment, «, par exemple.
Cela posé, j'observe d'abord que les deux premiers termes de N (en le supposant ordonné) peuvent donner sur-le-champ le premier et le second terme de R; en effet, il résulte évidemment de la loi de la formation du carré ( 86) : i° que le carré du premier terme de R renferme un exposant de la lettre a, plus grand qu'aucune des autres parties qui entrent dans la composition du carré de R ; a" que le double produit du premier terme de R par le second renferme aussi un exposant plus élevé que dans les parties suivantes. Ainsi, les deux parties dont nous venons de parler, n'ayant pu se réduire avec les autres, sont nécessairement les deux termes de N affectés du plus haut exposant de a et de l'exposant immédiatement inférieur. D'où il suit que si N est réellement un carré parfait : i° son premier terme doit être un carré parfait, et la racine de ce terme, extraite d'après le procédé du (83), est le premier terme c/<? R ; 2° son second terme doit être divisible par le double du premier terme de R ; et^ en effectuant cette division, on n pour quotient le second terme de R.
Afin de pouvoir obtenir les termes sviwzxû,?,^ formons le carré du binôme déjà trouvé, et retranchons-le de N; le reste, que nous désignons parN', renferme encore les doubles produits du premier terme de R par le troisième, du second terme de R par le troisième, plus une suite d'autres parties. Mais le double produit du premier terme par le troisième doit renfermer a avec un exposant plus grand que dans les parties suivantes, et ne peut, par conséquent, avoir été réduit avec ces parties. Donc ce' double produit est le premier terme de N'; ainsi ce premier terme doit
EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE DES POLYNOMES. Il5
être divisible par le double du premier terme de R ; et, si l'on effectue cette division, le quotient est le troisième terme de R.
Pour obtenir de nouveaux termes, // faut former les doubles produits du premier terme et du second par le troisième, plus le carré du trotsième, puis retrancher tous ces produits du reste N', ce qui donne un reste N" qui renferme encore le double produit du premier terme de R par le quatrième, plus une suite d'autres parties. Mais on prouvera, comme précédemment, que le premier terme de N" est nécessairement le double produit du premier terme de R par le quatrième. Ainsi, en divisant le premier terme de N" par le double du premier terme de R, o/z a pour quotient le quatrième terme de R ; et ainsi de suite.
N. B. Il est absolument indispensable, après avoir obtenu les deux premiers termes de la racine, de retrancher le carré du binôme trouvé du polynôme N; car ordinairement le carré du second terme de R renferme a avec le même exposant que dans le double produit du premier terme par le troisième ; par conséquent, il a dû se réduire avec ce double produit. Ainsi, ce n'est qu'après avoir soustrait ce carré, du polynôme N, qu'on peut assurer que le premier terme du reste est égal au double produit du premier terme de R par le troisième. La même remarque s'applique aux trois, quatre,. . . premiers termes trouvés.
Nous laissons aux élèves studieux le soin de déduire des raisonnements précédents le procédé général de l'extraction de la racine carrée d'un polyr.ôme; il leur suffira, pour cela, de réunir toutes les parties qui sont en caractère italique. Nous allons d'ailleurs en faire l'application à un exemple particulier.
Soit proposé d'extraire la racine carrée du polynôme
49"^^' — i^ab^
~3oa'b -}-i&b\
