Equation complète

ax^ -r- hx=i c.

Pour résoudre cette équation, divisons les deux membres par le coefficient de j:-, et posons, pour plus de simplicité,

il vient

(i) x^ ~i~ px = q.

Cela posé, observons que, si l'on pouvait ramener le premier membre, x'^ -^ px, au carré du binôme, une simple extraction de racine carrée réduirait l'équation à une équation du premier degré. Or, en comparant ce premier membre au carré du binôme [x-^-a], c'est-à-dire à x'^-^-iax-^-ci^, on voit que a;'-i-/j^se compose du carré d'un premier terme x, plus du

double produit de x par un second terme qui est alors nécessairement -,

car on a

124 CDAPITRE III.

D'où il suit que, si l'on ajoute à a:- -t- px le carré de ^ • ou Ç , le premier membre de l'équation deviendra \x-\--

Mais, pour ne pas troubler l'égalité, il faut aussi ajouter - au second membre; et il vient, par cette transformation,

d'oij, extrayant la racine carrée,

On met ici le double signe — , par la raison que le carré de -f- \ -r -i- <? >

ou de — \ ~~ q, est également -r-^q ) • Tirant enfin la valeur de x,

on obtient

Comme il est d'ailleurs évident, d'après l'équation (a), qu'il n'y a que -r- \/— — (7, ou — \ -y -•-- 7) qiii puisse représenter la valeur de j:-!- -,

il s ensuit nécessairement que ~ — -h i / '— -i- 7 et — \ T '^ ^

sont les seules valeurs de x qui puissent vérifier l'équation (2), et, par conséquent, la proposée (i) dont l'équation (2) n'est qu'une transformée.

Ainsi, l'inconnue de toute équation du second degré a deux valeurs et ne peut en avoir davantage.

On peut d'ailleurs établir cette règle générale pour résoudre une équation complète du second degré : Après avoir ramené l'équation à la forme x^ -r- px = q, ajoutez aux deux membres le carré de la moitié du coefficient de x, ou du second terme ; extrayez la racine carrée des deux membres en ayant soin d'affecter la racine du second membre du double signe ± ; tirez enfin la valeur de x de cette nouvelle équation.

La double valeur de x, à laquelle on parvient par ce moyen, peut s'énoncer ainsi en langage ordinaire : la moitié du coefficient de x, pris en signe contraire, plus ou moins la racine carrée de la somme algébrique du carre de la moitié du coefficient de x, et du terme tout connu.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ t25

Soit, pour premier exemple, l'équation

On trouve d'abord, en chassant les dénominateurs.

10 j;" — 6^ -f- 9 = 96 — Sx — I2.Z" -4- 2-3,

ou, transposant et réduisant,

j or . î * 36o

Q-ix -^ 7.x = ôGo, et x^ -, x = '

Ajoutons maintenant ( — j aux deux membres; l'équation devient

/i Y 36o ^Ly.