RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

d'où, complétant le carré,

X' — ax -:- -— = ■— yab ~ç)U \

extrayant la racine et transposant,

^ = - = i/^7 gab-i-gb\

Or cfab -hCfb- a évidemment pour racine ob; donc

d'oii

a: = in — ib, x = — a-i-3b.

Ces deux valeurs seront positives à la fois si l'on a 2 «■ > 3 & et 3b ^ a, c'est-à-dire si, a et b étant tous deux positifs, on a 6 plus grand que ^î

ma's plus petit que — •

Nous proposerons pour exercices les équations

x' — 7J:-i-io = o, valeurs ^ = 2, x = 5\

- X — 4 — x--i- IX — -^■=45 — 3x- -i- ^x,

valeurs a: = 7,12, j:= — 5,78 à 0,01 près,

■ b- — a.bx-hx^ = — ~ donne

x= —, 7, [bn ±: y/<r//r -h b'hn^ — tr n-) ,

9o. On peut résoudre l'équation ax- -h bx = c sans faire disparaître le coefficient de x^; mais les transformations sont plus compliquées. Le terme ax- peut être mis sous la forme {x^JaY, et le terme bx sous

celle-ci : 7.x\/7i x — —•■1 d'où il suit que ax--hbx représente les deux prelya

miers termes du carre de x\Ja h — ; amsi, en ajoutant — —

i\la \i\lfij

aux deux membres, on rendra le premier membre un carré parfait.

Effectuons celte transformation ; l'équation devient

«jt'h- y.r-i- — - = c -^ — -:

extrayant la racine,

d'où

Divisant les deux membres par \fn , et observant : 1° que

2° que

en obtient enfin

h . h b' •la Y rt xa

ou bien encore

— b±\Jà(ic -^ b-

résultat auquel on par\'ient plus aisément en mettant d'abord l'équation

b c sous la forme x- -t--x= -\ et nous n'avons exijosé !a méthode précéa a

dente que comme un simple exercice de calcul sur les radicaux du second

degré.

96. Appliquons ces principes à la résolution de quelques problèmes.

Premier problème. — Trouver un nombre tel que le double de son carré, augmenté cki triple de ce nombre, donne pour somme 65.

Soit X le nombre inconnu; on a, pour l'équation du problème, ■xx' H- 3.r = 65,

d'où

3 ^ /(i5 çT 3 ^ 23