i- qjc : 100 . 8776 ; j

' loo-T-gj?

Q . . ,OQ 748800

et les quatrièmes termes de ces proportions expriment ce que le négociant a payé pour chacun des billets. Donc, en vertu de l'énoncé, on a l'équation

loo-i-gx ioo-i-8.r

ou, observant que les deux membres sont divisibles par 400,

loo-j-gj- ioo-t-8x

Chassant les dénominateurs et réduisant, on trouve

2160.-^ -î- 4396x== 2200; d'où

Donc

ou, multipliant par 12,

Pour obtenir la valeur de iix à 0,01 près, il suffit d'extraire la racine carrée de 53o64o4 à o, i près, puisque cette racine doit être ensuite divisée par 18.

La racine carrée de 53o64o4 est 23o3,5 ; donc

— 2iq8 àz 23o3,5

par conséquent

ïo^''^ c oc i — 45oi,5

10 ib

La valeur positive, i2i-=5,86, représente donc le taux d'intérêt cherché.

l32 CHAPITRE III.

Quant à la solution négative, elle ne peut être regarda que comme liée à la première par une même équation du second degré. En eiïet, si l'on remontait à l'équation, et qu'on changeât x en —x, on traduirait difficilement la nouvelle équation dans un énoncé analogue à celui du problème proposé.

Quatrième problème. — Un homme achète un cheval quilvend, nu bout de quchjtte temps, pour 24 louis. A cette vente, il perd autant pour \oo, du prix de son achat, que le cheval lui avait coûté. — On demande le ])jix de l'achat.

Solution. — Soit X le nombre de louis que le cheval lui a coûtés \ x — a4 est une première expression de la perte qu'il a faite. Mais puisque, d'après l'énoncé, il perd autant de louis sur 100 qu'il y a d'unités dans x, sur x louis

il perd ^—1 et sur x louis il perd — • On a donc l'équatioij

d'où

et

Donc

x^ — looar^ — 2400, ar ^ 5o rfz \^i5oo — 2400 = 5o -=- 10.

.r = So et X -= 40.

Ces deux valeurs satisfont également à la question.

En effet, supposons d'abord que 60 soit le pris de l'achat; comme 24 est le prix de la vente, 36 est la perte que l'homme éprouve. D'un autre côté, il doit, en vertu de l'énoncé, perdre 60 pour 100 de 60, c'est-à-dire les

— de 60, ou — ^^^^ — 5 nombre qui se réduit à 36; ainsi, 60 satisfait à 100 100

l'énoncé.

Soit maintenant 40 le prix de l'achat ; 16 est la perte qu'il éprouve. D'ailleurs, il doit perdre 40 pour 100 de 40, ou 40 x — ; nombre qui se réduit à 16; ainsi, 4» vérifie encore l'énoncé.

Discussion générale de V équation du second degré.

Jusqu'à présent, nous n'avons résolu que des problèmes du second degré dont les données étaient exprimées par des nombres particuliers ; mais, pour être en état de résoudre des problèmes généraux et d'interpréter tous les résultai ts auxquels on peut parvenir en attribuant aux données des

DISCUSSION GÉNÉRALE DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. l33

valeurs particulières, il faut, en reprenant l'équation la plus générale du second degré, examiner les circonstances qui résultent de toutes les hypothèses possibles faites sur les coefficients. Tel est l'objet que nous nous proposons.

97. Mais, avant de passer à cette discussion, nous ferons connaître un fait analytique qui n'est, du reste, qu'un cas particulier d'une proposition dont la généralité sera démontrée par la suite pour toute équation d'un degré quelconque à une seule inconnue.

Soit l'équation générale

x^-^px^q, OU plutôt x'^ -[~px — q = o, pour laquelle on a trouvé (94)

Transportons dans le premier membre tous les termes de ces deux dernières égalités, ce qui-donne

et multiplions ces nouvelles égalités, membre à membre, en observant que les premiers membres peuvent être considérés^, l'un comme la différence, l'autre comme la somme des deux quantités.

il vient

ou, réduisant