X -^- px ~ q
Premier resto -\- [a -\- p) x — q\
Deuxième resto -i- «' -^- pa — q.
La division du premier terme x"^ du dividende par le premier terme x du diviseur donne pour quotient .r, et pour premier reste [a-^ p)x —q\ la division du premier terme [a + p) x de ce reste par x donne pov.r nouveau quotient a-^ p, et pour nouveau reste à^-^- pa — </, quantité indépendante de X.
Cela posé, si a est racine de l'équation x'' -t- px — ^ — o, on a nécessairement câ -^ pa — q = o; ainsi, le deuxième reste de la division cidessus étant nul, la division totale est exacte, et le premier membre de l'équation proposée est divisible par x — a.
Réciproquement, si la division de or'-i- /;.r — q par x — a est exacte, on a nécessairement a'' -\~ pa — q — o, c'est-à-dire que a est racine de l'équation.
Comme, dans le casoù« estracine, jr — rtdiviseexactementar'H-/;'.r — 17, et donne pour quotient x + a ^ p, rLciproquement x ■^- a -\- p divise exactement jt^h- px — ry, et donne pour quotient x ~ a\ d'où l'on peut conclure que la quantité — a — p est elle-même une racine de la proposée.
Ainsi, l'identité x^-T-px—q—[x — a) [x -\- a -\- p) démontre la propriété du n" 97.
Voici maintenant les conséquences :
On vient de voir que, si a est racine do l'équation x' -^ px — q = 0^ — a — p est la seconde racine de cette équation.
Or:
1° Si l'on ajoute les deux quantités <7, —a—p, il vient pour résultat ~ p;
DISCUSSION GÉNÉRALE DE l'EQI'ATIOX DU SECOND DEGRÉ. 1 35
2° La relation cP -^ pa — </ ~ o revient à celle-ci
D'où l'on voit que, dans toute équation du second degré, ramenée à la ferme .r^ -+- px — q = o, le coefficient p du second terme, pris en signe contraire, est égal à la somme algébrique des racines; et le dernier terme — q est égal au produit de ces mêmes racines.
C'est, au reste, ce qu'on peut vérifier directement sur les valeurs obtenues (93)
En ajoutant ces deux égalités membre à membre, on trouve a.' -f- .r ' = — p, et, en les multipliant,
N. B. Il ne faut pas perdre de vue que toutes ces propriétés supposent que l'équation soit ramenée à la forme x^ -h px — q = o\ c'est-à-dire : i" qu'on ait d'abord divisé toute l'équation par le coefficient de x- ; '2° que tous les termes soient transposés et ordonnés dans le premier membre.
Discussion.
99. Reprenons l'équation générale x'^-v-px — q, qui, étant résolue, donne
Pour que cette expression, qui renferme un radical, puisse être évaluée, soit exactement, soit par approximation, il faut (85) que la quantité
soumise au signe radical, c'est-a-dire 7 + V' ^O-'' posiiive. Or, '— étant
nécessairement positif, quel que soit le signe de p, il s'ensuit que le signe
pi
de la quantité 7 + -— dépend principalement de celui de «7, ou de la quantité toute connue.
Cela pos!?, soit d'abord <■/ positif; auquel cas l'équation est de la forme x"^ ± px = --f q (les signes des coefficients sont mis ici en évidence) ; on
en déduit
Or il est visible que les deux valeurs de x seront toujours réelles et pour-
ront être déterminées, soit exactement si 7 -h y est un carré parfait, soit
avec tel degré d'approximation que l'on voudra. Toutefois, de ces deux valeurs, la première sera positive et répondra di-
/ p reclement à 1 équation (ou au problème); car le radical .« 7 — -r étant
numériquement plus grand que -1 l'expression — ^ db * 1 -^ ~ est
nécessairement de même signe que le radical.
Ln seconde valeur est, par la môme raison, essentiellement négative, puisqu'elle doit avoir le même signe que celui dont le radical est affecté. Considérée indépendamment de son signe, cette valeur répond, non plus à l'équation telle qu'elle a été établie, mais à cette équation dans laquelle on aurait remplacé x par — x^ c'est-à-dire à a-' q= px — q.
En effet, celle-ci-donne
valeurs qui ne diffèrent des précédentes que par le signe.
Il est d'ailleurs remarquable que la même équation lie entre elles deux questions dont les énoncés diffèrent néanmoins par le sens de certaines conditions. [Voir les deux premiers problèmes du n° 96.)
Soit actuellement (j négatif; auquel cas l'équation est de la forme X- -izpx ~ — g, el donne
Pour que l'extraction de la racine puisse s'effectuer, il faut que l'on ait
Cette condition étant satisfaite, les deux valeurs sont réelles.
Comme, d'ailleurs, ^ /— — q est numériquement plus petit que -? il V t *
s'ensuit que ces valeurs sont toutes deux négatives si p est positif dans l'équation, c'est-à-dire si cette équation est delà forme
.i--f- px = — q.
DISCUSSION GÉNÉRALE DE l' ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 187
Et elles sont touies deiuc positives si p est négatif, c'est-à-dire si l'équation est de la forme
x^ — px :^ — q.
Les propriétés du n° 98 conduisent au même résultat. En effet, soient « et ^ les deux racines do l'équation du second degré
