X- -{- px = q

on a entre ces racines et les coefficients les relations

a+ b ^^ — p, ab ~ — q.

Cela posé, si q est positif dans le second membre et, par conséquent, négatif dans le premier, il s'ensuit que les deux racines sont de signes contraires, puisque leur produit est négatif. D'ailleurs, leur somme algébrique est négative o\x positive, suivant que /p est positif ou négatif; ce qui veut dire que, des deux racines, la plus grande numériquement est de signe contraire au coeUlcient p.

Si, au contraire, 7 est négatif dans le second membre et, par conséquent, positif dans le premier, comme le produit des deux racines est alors positif, il faut nécessairement qu'elles soient de même signe, savoir : toutes les deux négatives quand p est positif, et toutes les deux positives quand p est négatif.

100. Le cas où les deux racines sont positives mérite une attention particulière.

L'équation étant alors de la forme x'^ — px = ~ q, devient, par un simple changement de signe,

px — x"^ = q, ou X [p — x) — q,

et peut être considérée comme la traduction algébrique de ce problème : B Partager un nombre donné p en deux parties dont le produit soit égal a un autre nombre donné q [p et q sont supposés ici des nombres absolus).

En effet, x désignant l'une des parties, /j — x est l'expression de l'autre partie, e\.x [p — x) l'expression de leur produit, qui, par hypothèse, doit être égal à q.

Cela posé, comme l'équation est toujours la même, soit que l'on désigne par X la plus grande partie, soit que x représente la plus petite, il s'ensuit qu'elle ne doit pas donner l'une des parties plutôt que l'autre; elle doit donc les donner toutes deux à la fois. Ceci explique pourquoi l'équation admet deux solutions directes.

«38 cuvriTRE III.

Toutefois, pour que les deux valeurs de .r soient réelles, c'est-à-dire

pi pour que le problème soit possible, il faut que l'on ait <y < -y •

Ft, en effet, quelles que soient les deux parties cherchées, on peut toujours désigner leur différence par r/; et comme leur somme est p, on aura ( i), pour les expressions de ces deux parties,

'-■ -}- - et

Effectuant le produit de ces expressions, on trouve (S)

quantité essentiellement moindre que '-^i à moins que l'on ne suppose .•/ = o; auquel cas les deux parties sont égales, et leur produit est '—- • 11 est donc absurde d'exiger que le produit, qu'on avait d'ailleurs

représenté par «y, soit plus grand que '—■

De là résulte cette conséquence ;

Le plus grand produit cpCon puisse obtenir en décomposant un nombre absolu en deux parties, et nudtipliant ces deux parties entre elles, est L carré de la moitié du nombre.

Soit, par exemple, 56 le nombre à partager. On a