XC

b — \Jb'^-\- é[ac

Maintenant l'hypothèse a — o, introduite dans cette dernière expressioa,

la réduit à r; ou jt résultat trouvé ci-dessus.

Cette transformation a eu pour objet de faire ressortir dans les deux termes le facteur a^ dont la présence avait réduit l'expression à la

forme - {*)•

Soit supposé à la fois a = o, b ~ o. Les deux valeurs de x prennent

me et l'autre la forme -• o

Or si l'on remonte à l'équation elle-même, on reconnaît qu'elle se réduit

(*) Voir la Note II à la fin du volume.

DISCUSSION GÉNÉRALE DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 1^1

à c = o, et qu'elle ne peut être satisfaite par aucune valeur finie de x, tant que r n'est pas nid.

i\lais je dis que, dans ce cas, les deux valeurs de x sont infinies.

En effet, la première,

— b -\- \/h' -\- ^ac

se réduisant d'abord à -j-, par l'hypothèse « = o, devient - lorsqu'on y

joint l'hypothèse b ^ o.

Quant à la seconde,

— b — ^/b^^ ^ac

Xr= ! ,

in

on faisant subir à cette expression la même transformation qu'à la première, c'est-à-dire en multipliant les deux termes par — b -^ s/b"^ -^ ^ac, et supprimant ensuite le facteur %a commun aux deux termes, on la change en celle-ci

— b -\- \/b^ -i- 4 rtc

expression qui so réduit aussi à par la double hypothèse a = o,

Enfin, lorsqu'on suppose en même temps <? = o, A = o, c = o, les

deux valeurs de x se présentent sous la forme -■> sans qu'aucune transformation puisse conduire à des valeurs déterminées de x. En effet, l'équation, se réduisant alors à o = o, est tout à fait indéterminée.

C'est le seul cas d'indétermination que présente l'équation du second 1 degré.

On peut parvenir aux conséquences précédentes au moyen d'une analyse beaucoup plus simple, qui aura d'ailleurs l'avantage de s'appliquer par la suite à des équations d'un degré quelconque.

Reprenons l'équation ax^'\- bx — c, et posons x = -; il en résulte — r + - = r, ou bien cr'^ — by — a~ o

(en chassant les dénominateurs et transposant). Cela posé, soit d'abord a ^ o\ cette dernière équation devient

cy"^ — by = 0,

,^2 CUAPITHE m.

et donne deux valeuro

Substituant ces valeurs dans la relation x - i, on en dôduit

Si, outre l'bypollièso « = o, on a encore 6 = o, la valeur x = ^ devient

elle-même o

Et, en effet, réquation cy^ -by-a^o se rôdait, dans cette double hypotbcse, à cy'= o, équation dont les deux racines sont égales a zéro. Ainsi, les valeurs de x correspondantes sont toutes les deux infnics.

Quant au cas où l'on a en même temps a = o,b = o,c = o, l'équation cy^- by-n = o s& réduit à o = o, comane l'équation ax'-^bx - c, et admet une infinité de valeurs pour r, d'où il résulte une infinité de

valeurs pour x.

valeurs pour x. • i i

Nous allons maintenant appliquer les principes de cette discussion gênéraie à divers problèmes qui donneront lieu à toutes les circonstances qu on peut rencontrer dans les problèmes du second degré.

103. Cinquième problème. - Trouver, sur la ligne qui Joint deux lumières kctV> (V intensités différentes, le point où elles éclairent cgn-

On suppose connu ce principe de Physique que :

Les intensités relatifs d'une même lumière à deux distances différentes sont en raison inverse des carrés de ces distances.

Solution. - Nommons a la distance AB des deux lumières, b l'intensité de la lumière A à l'unité de distance, c lintensité de la lumière B à la même distance.

Soit d'ailleurs C le point cherché; et faisons

AC — X, d'où BC = a — X.

Puisque, en vertu du principe de Physique, l'intensité de A à la distance i

b b b étant b, son intensité relative aux distances a, 3, 4,- • • <?st -, -' 7(-' ' ' " '

il s'ensuit qu'à la distance .relie doit être exprimée par -p- On a de

PISCUSSIOX DE QUELQUES PROBLÊMES DU SECOND DEGRÉ. l43

lu jrae, pour Tintensité relative de B à la distance a — x

or, d'après l'énoncé, ces deux intensités doivent être égales. Ainsi, l'on a l'équation