X- [a — xf' d'où l'on tire, en développant et réduisant

[b ~ c)x'^ — inbx = — a-b.

Donc

abzjzK/(âb'~a-b{b-c] b — c

ou, réduisant,

expression qui se simplifie encore si l'on observe : 1° Que b r- s/bc peut se mettre sous la forme

\rb.\l~b±\1.\J~c, ou v^-{v/^ = l'^?)' 2° Que ^ — c est égal à

Ainsi, en considérant d'abord le signe supérieur de l'expression ci-dessus on a

On obtient de même, pour la seconde valeur,

X ^ ^\^bWb~\/c) ^ a^b ^ \^Jb-^^fc)\^,^b-^fc) yfb^yj'c^

Au reste, ces valeurs simplifiées pouvaient s'obtenir immédiatement ilaprès l'équation proposée. En effet, l'équation

"Zî = T T' revient a ^ — ,-— = -.

i4-î cnAi'iTRE m.

Or, si l'on extrait la racine carrée des deux membres, il vient

'^ ±,rr

a — X ^^ je ± \/c

d'où, en chassant les dénominateurs et transposant, n\^ — x\n} = -- X \/c\ donc x

\fb±\rc

N. ^. — On a d'abord obtenu les valeurs sous une forme plus compliquée, parce que l'équation a été résolue par la méthode générale, qui est moins simple que la précédente.

Discutons maintenant les deux valeurs simplifiées. On a

\° X =^ —zA -■> 2.°x= '

d'où l'on tire

ay <: — o V '■

S'>it d'abnrd è > r.

La première valeur de x^ ~. —i est positive et plus petite que a\

yjt) -f- \'c

car -— ^ — — est une fraction. Ainsi cette valeur donne, pour le point éga- \'b -^\fc

lement éclairé, un point C situé entre les points A et B. On voit, en outre,

que ce point est plus voisin de B que de A; car, à cause de i > c, on a

\/Z' -i- v'^, ou isj!) > sjl) H- \fc^ d'où -p-'—

et par conséquent,

a\Jl) a

Cela doit être en effet, puisqu'on suppose l'intensité de A plus forte que

celle de B.

La valeur de a — :c correspondante, —^ -p » est positive et plus pe-

tite que - • comme il est aisé de le vérifler.

La seconde valeur de x^ —z^ -=■> est encore positive, mais dIus

\/b — \Jc

DISCUSSION DE QUELQUES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. l45

erande que a ; car on a

Cette seconde valeur donne donc un second point C situé sur le prolongement de AB, et à droite des deux lumières.

On conçoit, en effet, que les deux lumières se répandant en tous sens, il doit y avoir sur le prolongement de AB un autre point également éclairé; et ce point doit être plus voisin de la lumière B, dont l'intensité est la moins forte.

On peut reconnaître à posteriori pourquoi ces deux valeurs sont liées par la même équation. Si, au lieu de prendre AC pour l'inconnue j:, on prend AC, il en résulte

BC — X — a\ ainsi, l'on a l'équation

x' [x — ci)-

Or, comme (jr — «)' est identique avec (« — .r)', la nouvelle équation est la môme que l'équation déjà établie, qui, par conséquent, ne doit pas plutôt donner AC que AC.

La seconde valeur de a ~ x, — ^» est négative, ce qui doit être,

y/b — yc

puisque l'on a a- > a ; mais en changeant les signes de l'équation

pn trouve

nv'c

\Jb-slc

Bt cette valeur de x — a représente la valeur absolue de BC. Soit b <c.

La première valeur de X y —~- — — > est toujours positive, mais plus v/^-f- <i/c

petite que -> puisque 1 on a

La valeur de a — x correspondante, ou — — ? est positive et plus

yb -{-\/c

grande que -•

Alsr. B. lO

l46 CllAPITIlE III.

Ainsi, dans riiypolhèse que l'on considère, le point C, situé enlre les points A et B, doit Cire plus voisin de A que de B,

f\^> — nJb ^ ,. ,,

La seconde valeur (la X , ---— — -, OU — = ^i est essenticlie-

yb — V c V^' — V ^

ment négative.

Pour l'interpréter, changeons x en — x dans l'équation ; elle devient

Or, a — X exprimant d'abord la distance de B au point cherché, a-^ x doit maintenant exprimer cette même distance; ce qui exige que le point cherché soit à gauche de A, en C" par exemple. Et, en eiïet, puisque l'intensité de la lumière B est, par hypothèse, plus forte que celle de A, le second point cherché doit être plus voisin de A que de B.

La valeur de <? — x correspondante, -= =? ou —- -.:. est

\b — \jc yc — yb

positive; et cela tient à ce que, x étant négatif, a — x exprime réellement

une somme aritltmétique.

Soit b = c.

Les deux premières valeurs de x et de « — ^ se réduisent à - ; ce qui

donne le milieu de AB pour le premier point également éclairé. Ce résultat est conforme à l'hypothèse.

Les deux autres valeurs se réduisent à - — ■■, ou deviennent infinies;

c'est-à-dire que le second point également éclairé est situé à une distance des points A et B plus grande qu'aucune quantité assignable. Ce résultat répond parfaitement à l'hypothèse présente; car, si l'on suppose que li différence b — c, sans être tout à fait nulle, soit extrêmement petite, le second point également éclairé existe, mais à une distance très-grande doj

deux lumières : c'est ce qu'indique l'expression —-A — —i dont le déno-

yb — yc

minateur est extrêmement petit par rapport au numérateur; etlorsqu'or

suppose enfin b = c, ou \/6 — \/^ = o, le point cherché ne peut plu;

exister, ou doit se trouver situé à une distance infinie.

Observons, en passant, que dans le cas de è = c, si l'on considérait le;

valeurs non simplifiées,

x = "'*r'^) et .^''^p^, b — c 0 — c

la première, qui correspond a x = — — ) deviendrait — , et la

sjb — yc o

seconde, qui correspond à x = —=. ^5 deviendrait -• Mais on n'ob-

^ sTb^s/c o

tient la forme - qu'à cause de l'existence d'un facteur commun, \nj — \/c,

e<ilre les deux termes de la valeur de x. [Foi?- ce qui a été dit aux 11"^ 73 et 102.)

Les deux termes de la première comprennent bien aussi le facteur commun \/Z' ~ \/c: mais, en le supprimant, on trouve

\fh-sfc

expression qui se réduit encore à dans l'hypothèse de ô — c

S'aient b ^ c et a ~ o.

Le premier système des valeurs de ^ et de fi — xsq réduit à o, et le

second système à -• •■ o

Ce dernier caractère est ici le symbole de Y indétermination; car si Ton remonte à l'équation du problème [b — c)x-— o-abx = — à^b, elle se réduit, dans rhypothèse actuelle, à o.j:^— car = o, équation qui peut être satisfaite par un nombre quelconque mis pour x. Et, en effet, puisque les deux lumières ont la même intensité et sont placées au même point, elles À>ire/il éclaire/' également chacun des points de la ligne AB. j La solution o que donne le premier système est une de ces solutions, nombre infini, dont on vient de parler. Soit, enfin, a = o, b étant différent de c.

Chacun des deux systèmes se réduit à o; ce qui prouve qu'il n'y a, ans ce cas, qu'un seul point également éclairé : c'est celui où les deux anières sont placées.

' ''quation se réduit alors à (/^ — c) x^= 0, et donne les deux valeurs

La discussion précédente offre un nouvel exemple de la précision avec aquelle l'Algèbre répond à toutes les circonstances de l'énoncé d'un pro- )lème.

iOi. Sixième problème. — Tromper deux nombres tels, que la diffé- 'cnce de leurs produits par les nombres respectifs a et b soit égale à un

l/8 CHAPITRE III.

nombre donné s, et que la différence de leurs carrés soit égale à un autre nombre donné q.

Solution. — Soient x et/ les nombres cherchés; on a les deux équations

ax — by ^ s, x'—'f = q.

De la première on tire x = ^^^' valeur qui, substituée dans la seconde, donne (,) {a'-b')y-'i.bsy^-^s-'-a'q\

donc

hs ±i a\J s" - q{œ - b") ^-~ a^-l)-"

Reportant cette valeur dans l'expression de x en y, on trouve

Tbs±a^Js'■-q[a^^=lF)\ , b ! 5 r^ ~ *

d'où

as±hsjs'-q[a^-b-') ■^" - rt^ - b-"

(Il ne faut pas perdre de vue que, dans ces valeurs de 7 et de x, les deux signes supérieurs se correspondent, ainsi que les signes inférieurs.)

Discussion. — Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que a, b, q, S soient des nombres absolus : s'il en était autrement, certains termes dés valeurs de x et de j changeraient de signe, et il faudrait opérer C2S changements avant de discuter.

&)it a> b, d'où û' — b" positif.

D'abord, pour que les deux valeurs de ^ et de j soient réelles, il faut que l'on ait

q{a'-b') < s\ d'où q < -^rZTb' '

Supposons cette dernière condition remplie, et déterminons les signes dont les deux systèmes de valeurs sont affectés. Le premier système est

asH'b^/s'-qia'-b^)^ bs -^ a\Js' - q(a' -h^^ Les deux valeurs de ce système sont nécessairement positives, et for-

DISCUSSION DE QUELQUES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. l49

ment, par conséquent, une solution directe du problème, tel qu'il a été établi.

Le second système est

as — b\/s'— già"— b^) bs — asjs""— q\a''— b^)

^" a-'-b^ ' ^'~ cr-b' '

La valeur de x est essentiellement positive; car de a > è on tire

as > bs, et à fortiori as y- b \/s'^ — q[a'^ — 6^ ) ,

puisque le radical est plus petit que s. Quant à celle de j, elle peut être positive ou négative. Pour qu'elle soit positive, il faut que l'on ait

bs > a ^/s'—q[a'—b') , d'oii, en élevant au carré,

Ajoutons «'(/(a'— b^) aux deux membres, et retranchons-en b^s-; il vient

d'où, en divisant par a^{a^— b^],

Ainsi, pour que le second système soit encore iine solution réelle et \recte, il faut que l'on ait en même temps

q < — — n 1 et <7 > -j ,

( est-à-dire que 7 soit compris entre les deux nombres — ^ et ^ •

( tbscrvons, en passant, que la condition q> — pouvait être obtenue

lus facilement au moyen de l'équation en r.

Cette équation étant [a^— b-)y — ibsy -r s^— a^q, on voit que, dans hypothèse de « > 6, elle est de la forme x^ — px = — q, si l'on aa^qy s\

m 7 > — : et l'on sait iiOO) qu'alors les deux racines sont à la fois po- ^ a

iitives.

Si l'on avait, au contraire, q <C~-.i auquel cas on aurait, à plus forte

l5o CnAPITRE III.

raison , 7 < — ^,, la valeur de r du second système serait négative; et

' a — 0 ce système (abstraction faite du signe de r) ne serait plus une solution de l'énoncé tel qu'il a été établi, mais bien de celui dont les équations seraient

nx -\- bj-~ s, x'^ — y=q,

et qui ne différerait du précédent qu'en ce que s exprimerait une somme au lieu 6! une différence.

Ainsi, dans le cas de « > ^, le problème admet deux solutions réelles et directes toutes les fois que l'on a

7>^2' mais 7<,7ir7;^'

et elle n'en admet qu'une seule si l'on * 7 < ~:*

En prenant pour a, b, s des nombres absolus quelconques, pourva toutefois que « soit > b, et choisissant ensuite pour g un nombre compris enire les deux limites ^ et -7^-' «" sera certain d'obtenir deux solutions directes.

Soient, par exemple,

a =6, 6 = 4, ^ = i5, d"cù l'on déduit

^-■36" "4' ci'-b" 20 .4

On pourra supposer 17 = 10, par exemple, et il viendra

- 20 X 1 0 90 rh 20 1 I

et et

Les solutions ('x = -^, j = |) et (^x = ^, r = ^) forment évidemment deux solutions directes des équations

Mais si l'on supposait « = 6, i = 4, ^ - '5, <? = 5, il serait facile d, reconnaître que, des deux systèmes, le premier seul donnerait une soluiioi directe.

DISCUSSION DE QUELQUES PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. l5l

Cas particuliers qui se rapportent à VJiypothèse de a~^ b. Soit

q = -rzrû-^ ' d où q («= -¥)^ s\

Les deux systèmes de valeurs de x et de j>- se réduisent à

as hs

Ainsi, dans cette liypothèse, il n'y a qu'une solution du problème, et elle est directe.

Soit encore

7 = — 5 d'où s'^=a'^q et s — asJTi^

i- le premier système devient

as -h b\/L>-q a' -+- ù^ ,- bs-ha\/b'q lab r-

le second

^ aj-bsjjy-q^ ,~ bs-asj'lr y ^ ^^

cr-b-^ -V^' ^- d'-(F~

Et, en effet, supposons s"" = crq dans l'équation en y\ elle se réduit à [d- ~b'^)y'^ — ibsy = o\

i'où l'on déduit

"ibs "xab f-

J'-""' ^' = ^r=rbi = ^,^z=T^vq-

Reportons chacune de ces valeurs dans x = -^~^^ ■ il en résulte

•^--= — v^> ^ = ;?^:pV7.

Soit maintenant a <ib; d'où a- — b^ négatif.

Les expressions de ^ et de j peuvent se mettre sous la forme

l52 CHAPITRE III.

Ces valeurs sont toujours rijelles, puisque la quantité sous le radical est cssenlieUement positive.

Quant aux signes, la première valeur de x est essentiellement négative, et il en est de même de la première valeur de j. Ainsi ces valeurs, abstraction faite de leur signe, répondent, non aux équations proposées, mais aux équations by — ax= s^x^ — y'^=q^ dans la première desquelles V ordre de la différence entre les produits ax et by est renversé.

La seconde valeur de x est nécessairement positive ; car de Z» > « on déduit b v'-y^-i- (]{b- — à^) > as , puisque le radical est numériquement plus grand que s.

Mais la seconde valeur de y n'est pas toujours positive. Pour qu'elle le soit, il faut qu'on ait la relation

a \Js- -h q[b^ — à') > bs,

d'où, en élevant au carré,

ou, transposant a'^s^,

et divisant par «'(/;' — «'),

En donnant à a, b, s, q des valeurs particulières, telles que Ton ail

b^ a^ et <7 > — 5 le problème sera encore susceptible dîune solution

directe.

Soit, enfin, a = b; d'où a' — b- = o.

Le premier système de valeurs devient, dans cette hypothèse,

•i.as ins X = , y= 5

et le second

Mais si l'on remonte à l'équation («^ — b^)y'^ — •i.bsy ■= s'^ — a'q, qui, lorsqu'on fait a = è, se réduit à — iasy= s'' — a^q^ on en déduit

•xas '

TRANSFORMATIONS DES INÉGALITÉS. l53

et l'expression de xenj; x= — — ^ — donne

On parviendrait aux mêmes résultats en imitant l'un des procédés

suivis (102), c'est-à-dire en faisant, dans l'équation en j, j = -, ou bien, en mettant en évidence le facteur commun a^ — b^ dans celles des expressions de y et de x^ qui se sont réduites à la forme--

Pour nue la solution x ~ — , y — — soit directe, il faut

las las

qu on ait y

Des transformations qu'on peut faire subir aux inégalités.

lOo. Dans le cours de la discussion des deux problèmes précédents, nous arons eu occasion de poser plusieurs inégalités sur lesquelles ont été exécutées des transformations analogues à celles qu'on exécute sur les égalées. C'est, en effet, ce qu'on est souvent obligé de faire, lorsqu'on discutant un problème on veut établir entre les données les relations iJBcessaires pour que le problème -soit susceptible d'une solution directe du moins réelle, et 6xer, à l'aide de ces relations , les limites entre squelles doivent se trouver les valeurs particulières de certaines données our que l'énoncé tombe dans telle ou telle circonstance. Or, quoique les rincipes établis pour les équations soient en général applicables aux égalités, il y a néanmoins quelques exceptions dont il est nécessaire e parler, afin de mettre les commençants en garde contre des erreurs ju'ils pourraient commettre en faisant usage des signes d'inégalités. Ces xceptions proviennent de l'introduction des expressions négatives comme fuantités, dans les calculs.

Pour plus de clarté, nous allons passer en revue les diverses transformations qu'il est permis de faire subir aux inégalités , en ayant soin de faire ressortir en même temps les transformations dont l'emploi doit être interdit.

Transformatiox par addition et soustraction. — On peut, sans aucune exception, ajouter aux deux membres d'une inégalité quelconque, ou en retrancher une même quantité ; r inégalité subsiste toujours dans le même sens.

i54 cnAPiTRE m.

Ainsi, soit 8 > 5 ; on a encore

8 -T- 5 > 3 -h 5, et 8 — 5 > 3 — 5. Soit do môme — 3 < — 2 ; on a encore

— 3 -I- 6 < — 2 -i- 6, et — 3 — 6 < — 2 — G.

Cela résulte des principes établis au n° G3.

La transformation précédente sert, comme dans les équations, à faire passer certains termes d'un membre de l'inégalité dans l'autre.

Soit, par exemple, l'inégalité «'-f- ^'> 3^- — 2c/'; il en résulte

<7- -(- 2 «' > 3 Z»^ — /^^ ou 3(7^>2^'.

O/i peut, sans exception, ajouter membre à membre deux ou plusieurs inégalités établies dans le même sens; on obtient ainsi une inégalité de même sens que les proposées.

Ainsi, a^ b,c '^ d, e ^f,. . . donnent

Mais // n'en est pas toujours de même si l'on soustrait membre à membre deux ou plusieurs inégalités établies dans le même sens. Soient les inégalités 4 < 7 et 2 < 3 ; on a bien

4 — 2 < 7 — 3 ou 2 < 4.

Mais soient les inégalités 9 < 10, et 6 < 8 ; il vient, par la soustraction.

9 — 6 > 10 — 8 ou 3 > 2.

On doit donc éviter autant que possible cette transformation ; ou, lorsqu'on l'emploie, s'assurer s'il y a inégalité dans le rés-altat, et dans quel sens est celle-ci.

Tr.ANSFOP.-MATio.N PAR MULTIPLICATION ET Divisio.N. — On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un nombre positif ou absolu : il y a inégalité de même sens dans les résultats.

Ainsi àe a -Cb, on tire 3« < 36; et de — « <— 6, on déduit

— 3fl <~3b.

Ce principe sert à faire disparaître les dénominateurs.

Que l'on ait l'inégalité ,— > —^ ; on en déduit, en multipliant

^ Q.d àa ' ^

TRANSFORMATIONS DES INÉGALITÉS. l55

les deux membres par 6 ad,

3a{a'-lj') > id[c^- rP).

Même principe pour la division.

Mais lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une incgalilé par une (juantité né^adce, on obtient une inégalité de sens contraire.

Soit, par exemple, 8 ;> 7; en multipliant les deux membres par — 3, on a, au contraire, — 24 < — 21 .

De même, 8 > 7 donne

ni' ou -3<:zr3, ou -3.

Ainsi, lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre exprimé algébriquement , il faut s'assurer si le multiplicateur on le diviseur ne peut devenir négatif; car, dans ce dernier cas, .'inégalité serait de sens contraire.

Dans le problème du n° 104, de l'inégalité a^q{a- — b^) > s^{a^— è'),

on a pu déduire 7 > -j? en divisant par «'(«- — b^), parce que l'on avait

'supposé « > ^, ou <7^ — b^ positif.

Il n'est pas permis de changer les signes des deux membres d'une i //égalité, à moins qu'on n'établisse l'inégalité résultante en sens contraire; cette transformation revient évidemment à multiplier les deux membres par — i .

Transformation par élévation au carré. — On peut élever au carré les deux me/nbres d'une i //égalité entre des nombres absolus, et l' inégalité subsistera dans le n/é/ne sens.

Ainsi, de 5 > 3, on déduit aS > 9; de (7 h- ^ > c, on tire{«-f- b)'y-c*.

Mais si les deux men/brcs de l'inégalité sont de signes quelconques, on ne peut pas assurer d'avance dans quel sens l'inégcdité résultante aura lieu.

Par exemple, — 2 < 3 donne

(—2)' ou 4<9;

et — 3 > — 5 donne, au contraire,

(—3)' ou 9<( — 5)' ou 25.

On doit donc, avant d'élever au carré, s'assurer si les deux membres peuvent être regardés comme des /io/nb/-es absol/is.

Transformation par extraction de racine carrée. — On peut

l5G CHAPITRE III.

extraire la racine carrée des deux membres d^une inégalité entre des nombres absolus i et V inégalité subsiste, dans le même ans, entre les valeurs numériques de ces racines carrées.

Observons d'abord qu'on ne peut proposer d'extraire la racine carrc/e des deux membres d'une inégalité, qn'autant quils sont essentiellement positifs^ car, autrement, on serait conduit à des expressions imaginaires qu'on ne pourrait comparer.

Mais que l'on ait 9 < aS, on en déduit v/g ou 3 < v^^ ou 5.

De «' > b^ on déduit « > è, si a et è expriment des nombres absolus.

De même, l'inégalité «'> (c— b^ donne <7> r — ^, si l'on suppose déjà c plus grand que ^; et a > 6 — c, si, au contraire, b est plus grand que c.

En un mot; lorsque les deux membres d'une inégalité sont composés de termes additifs et de termes soustractifs , on doit avoir soin d'écrire, pour la racine carrée de chaque membre , un polynôme dans lequel les soustractions soient possibles.