Voici les énoncés de nouveaux problèmes

Septième problème. — Deux marchands vendent chacun d'une même étoffe, a des prix différents ; le second vend 3 mètres de plus que le premier, et ils en retirent ensemble 35 écus de 5 francs. Le premier dit au second : J'aurais retiré de votre étoffe 24 écus; l'autre répond : Et moi j'aurais retiré de la vôtj-e 12 écus \. — Combien de mètres ont -ils vendu chacun?

Rép. \" marchand a; = i5; 2^ marchand y = 18, ou bien x — 5,

Huitième problème. — Un négociant doit un billet de 6240 francs payable dans 8 mois, et un autre billet de 7632 francs payable dans 9 mois. Il retire ces deux billets, et remet à leur place un billet de i4ï56 francs payable dans un an. — On demande le taux de l'intérêt.

Rép. lo'^'', 33 pour 100 par an.

On suppose ici que chacun des trois billets ait été réduit à sa véritable valeur [voy. Arithmétique (268)] à l'instant même de l'échange do> billets; car il est bon d'observer que la question peut être traitée de diverses manières, et donne lieu à des résultats tout à fait différents, suivant les époques auxquelles on ramène les valeurs des billets.

Neuvième problème. — Une personne possède i3ooo francs, qu'elle partage en deux portions placées à intérêt, de manière qu'elle en retire des revenus égaux. Si elle faisait valoir la première portion sur le même

QUESTIONS SUR LES MAXIMUMS ET LES MINIMUMS. l5']

pied que la seconde, elle retirerait pour cette partie 3Co francs d'intérêt; et si elle faisait valoir la seconde portion au même taux c^ue la première, elle retirerait 490 francs d'intérêt. — On demande les deux taux d^intérêt. (Rép, 7 et 6.)

(L'équation de ce problème peut être résolue plus simplement que par la méthode générale.)

Dixième problème. — Trouver deux i-ectangles dont on connaît la somme <j des surfaces, la somme a des hases, et dont on connaît les surfaces p et p', quand à la base de chacun d'eux on donne la hauteur de l'autre, c est-à-dire quand on alterne les hauteurs.

D ■ T, A ■ a{ip -i- q ± v/r/' — ^pp')

Rep. Base du premier, x = ' > < .

(Résoudre et discuter ce problème.)

Onzième problème. — Partager deux nombres a et b, l'un et l'autre ?« deux parties, de manière que le produit d'une partie de a par une oartie de b soit égal à un nombre donné p, et que le produit des parties le a et b soit aussi égal à un nombre donné p'. — Résoudre et discuter '0 problème.

Douzième problème. — Trouver un nombre tel, que son carré soit au

oduit des différences entre ce nombre et deux autres nombres donnés a

et b, dans un rapport connu, p '. q. — Résoudre et discuter ce problème.

Nous recommandons ce dernier problème aux élèves, non-seulement parce que sa discussion offre de nouvelles applications des principes sur les inégalités, mais encore parce que les formules auxquelles on parvient renferment implicitement les solutions d'une foule de questions analogues, dont les énoncés ne diffèrent que par le sens de certaines conditions.

Questions sur les maximums et les minimums. — Propriétés des trinômes du second degré.

107. Il est une certaine classe de problèmes qu'on rencontre surtout dans la Géométrie analytique, et qu'il est souvent possible de résoudre à l'aide des théories précédentes : ce sont ceux qui ont pour objet de déterminer la plus grande ou la plus petite valeur que puisse recevoir le résultat de certaines opérations arithmétiques effectuées sur des nombres.

Soit proposée cette première question : Partager un nombre donné ia en deux parties dont le produit soit le plus grand possible, ou un maximum.

i5S criAPiTRE ni.

Plaignons par x l'une des parties, l'autre sera in — jr, et leur produit u:{-i.ci r).

Si l'on donne à .r différentes valeurs, ce produit passera par différents e'uits de grandeur; et il s'agit d'assigner à x la valeur qui doit rendre ce produit le plus grand possible.

Désignons par )■ ce plus grand produit dont la valeur est inconnue pour le moment; on aura, d'après l'énoncé, l'équation

Regardant ;■ comme connu, et tirant de cette équation la valeur de r.

on trouve

X = a -7 \Ja~' — y.

Or ce résultat fait voir que x ne peut être réel qu'autant que l'on aura y < a', ou, tout au plus, y= a^.

D'où l'on peut conclure que la plus grande valeur qu'on puisse donner à/, c'est-à-dire au produit des deux parties, est <7\

Mais si l'on fait j-= «', il en résulte x — a.

Donc, pour obtenir le plus grand produit, il faut diviser le nombr; donné ia en deux parties égales; et le maximum qu'on obtient ainsi ett le carré de la moitié du nombre ; résultat que l'on a déjà trouvé par ua autre moyen (TOO).

Solution plus simple. - Appelons ix Va différence qui existe entre le; deux parties; puisque leur somme est déjà exprimée par la, la plus grandi

de ces parties sera (4) représentée par ' ; ou u -+- a:, la plus petite par a — X, et l'on aura pour l'équation

ou, effectuant les calculs,

a^ — X- = r; d'où x = ±: \/a' — y.

Pour que cette valeur de x soit réelle, il faut que j soit tout au plus égal à rt' ; or, en faisant j =^ <?', on obtient x - o, ce qui prouve que les deux parties doivent être égales.

Ce moyen de résolution a l'avantage de conduire à une équation du second degré à deux termes.