iV. B. Dans les équations

x[o.a — x\—y et [a -\- x) [a — x) ~ y .,

QUESTIONS SUR LES MAXIMUMS ET LES MÎNIMUaiS, 1 0 C

X est dite une vcuinhlc, et

X [ia — x) ou [a n- x] [a — x)

m\Q CQvlàma fonction de la variable.

Cette fonction, représentée par y, est elle-même une autre variable, dont la valeur dépend de celle qu'on attribue à la première; et c'est pour cela que les analystes désignent quelquefois celle-ci sous le nom de variahlc indépendante, tandis que la seconde, ouj, reçoit des valeurs dépendantes de celles qu'on attribue à x.

En résolvant par rapport à x les deux équations

X [in — x) ---- j et i « -)- x) [a — x) = 7',

celqui donne : X = n-i- \/a- — r et x —. ± s/n' — j,

on peut regarder, à son tour, jr comme une variable indépendante et x cohfime une certaine /o/^c/Zo/? de cette variable.

109. Proposons-nous, pour seconde question, de diviser un nombre "xa CT\ deux parties telles, que la somme des racines carrées de ces deux parties soit un maximum.

Appelons x- l'une des parties; la — x'^ sera l'autre partie, et la somme d< leurs racines carrées aura pour expression

X ^- ^ia — .r^ :

t!St cette expression dont il faut déterminer le maximum. I Posons

I Pour résoudre cette équation, il faut chasser le radical. On a d'abord, n transposant le terme x dans le second membre,

IsJ'i a — x'- — y — x^ 'où, élevant au carré,

art — .r^ = 7' — ixy -^ .r^, M, ordonnant par rapport à .r,

ix^ — %xy = la — 7-^, ■quai ion d'où l'on tire

l6o CHAPITRE III.

OU, simplifiant,

Pour que les deux valeurs de x soient réelles, il faut que 7^ soit fout au plus égal à 4«- Donc 2 yf(t est la plus grande valeur que puisse recevoir r. Si l'on fait y - -x \/7i^ il en résulte x = \^a\ d'où l'on déduit

x'^ = a et la — x"^ = a.

Ainsi, le nombre donné 2 a doil être divisé en deux parties égales f.our que la somme des racines carrées de ces deux parties soit un maximum. Ce maximum est d'ailleurs égal à 2 \/â. Soit, par exemple, 72 le nombre proposé ; on a

72 = 36-1-36; d'où \/36 -t- v'SG ^ 12,

C'est le maximum de valeur qu'on puisse obtenir pour la somme des racines carrées des deux parties de 72. Et, en effet, décomposons 72 en 64 -:- 8 ; on a

v/64 — 8 et /^ = ^ "'^ ""3 fract.; d'où

v/64 -f- \/8 = 10 -{- une frac t.

Soit encore 72 = 49 -^- aS ; on a

v'49 — 7> \/'-*^ — 4 -*- une fract.; donc

v/49 -i- y/^ = II -i- une fract.

ni 'f*^ — j n

Considérons, pour troisième exemple, l'expression — ^ — j qfà

s'agit de rendre un minimum [m étant supposé > «). Posons

— y, d'où m^x'^ — (/«' — n^)y.x — — n';

[nr — n') X on en déduit

wTT

X = -^ ; — — ±: 5 V ( m^ — n' V r — â nr n'.

Or, pour qufi les deux valeurs de x correspondant à une valeur de 1

QUESTIONS SLR LES MAXIÎIUIMS ET LES JÎIMJIL'MS. l6î

soient réelles, il faut évidemment que {nr — ri^'f f soit au moins égal à

, , , . . , , , "i-inn ^m^n-, et, par conséquent, que j soit au moins égal a —5 7»

Ainsi, —T, — ■ — T est le minimum des valeurs qu'on puisse donner à r. m' — n-

Si l'on fait r= —^ -1 dans l'expression de x. le radical disparaît,

et la valeur de x devient

m- — n^ imn n

im m' — rr

Cette valeur, x = —■, est donc celle qui rend l'expression proposée un minimum, lequel est égal a —7 j •

MO. Ces exemples suffisent pour mettre au fait de la marche qu'il faut suivre dans la résolution de ces sortes de questions.

Après avoir formé l'expression algébrique de la quantité susceptible de devenir, soit un maximum, soit un minimum, on l'égale à une lettre quelconque y. Si l'équation que l'on obtient ainsi est du second liegré en x [^x désignant la quantité variable qui entre dans l'expression algébrique ) , on la résout par rapport à x ; puis on égale à zéro la quantité soumise au radical, et Von tire de cette dernière équation une valeur de y qui représente alors le maximum ou le minimum cherché. Substituant enfin cette valeur de y dans V expression de j-, on obtient la valeur de x propre à satisfaire l'énoncé.

N. B. — S'il arrivait que la quantité sous le radical restât positive, quelle que fût la valeur de j, on en conclurait que l'expression proposée peut passer par tous les états de grandeur possibles ; en d'autres termes, qu'elle a, en nombres absolus, l'infini pour maximum et zéro pour minimum; ou, plus généralement, qu'elle peut passer par tous les états, depuis \ infini négatif ]Vi?,(\Vid, \ infini positif.

Soit, pour nouvel exemple, l'expression

^x- -k- i\x — 3 6 [-xx ■+- 1)

On demande si cette expression est susceptible d'un maximum ou d'un miniimim.

Posons

6(2XH-I) ~^' Alg. B. 1 1

iGi cnAi'irnE m.

Il en résulte l'équation

4 j' — 4 ( 3 )' — I ) jc = 6j -H 3 ; d'où Ion déduit

Or, quelque valeur qu'on donne à v, la quantité sous le radical sera toujours positive. Ainsi j, ou l'expression proposée, peut passer par tous les états de grandeur depuis — » jusqu'à -^ » .

Dans les exemples précédents, la quantité soumise au radical de la valeur de .r ne renfermait que deux parties, l'une affectée de j ou de j^, l'autre toute connue; et il a été facile d'obtenir le maximum ou le minimum dont la fonction était susceptible. Mais il peut arriver que celte quantité soit un trinôme du second degré de la forme mr' -r- ny-h p.

Dans ce cas, la question devient plus difficile; et pour mettre en état de la résoudre complètement, il est nécessaire de démontrer plusieurs propriétés relatives à ces trinômes.

Propriétés des trinômes du second degré.

111. On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme m)^ H- nr -f- p ( /», n et p étant des quantités connues de signes quelconques, V désignant d'ailleurs une variable, c'est-à-dire une quantité que l'on fait passer par différents états de grandeur).

Ainsi

Sj-*— 5r— 7 — 9>--T- 2r — 5 ou — 6r'-^ 3/-h 12, (fl — 6 -H af ) )^ -7- ^W-y — 2<7c- ~ "hd^b

sont dits des trinômes du second degré en r. Si l'on égale à zéro le trinôme m y- -h ny -^ /?, ce qui donne

mf ^fiy-+-p = o, d'où j- = — ±: JL ^',i'~ Amp,

im ini -> j 1

on peut faire trois h5T)othèses principales par rapport à la nature des valeurs de / qu'en vient d'obtenir :

les deux racines sont alors réelles et inégales;

2° n' — 4 nip — o ;

auquel cas les deux racines sont réelles et égales;

PROPRIÉTÉS DES TRINOMES DU SECOND DEGRÉ. l63

3° IV — ^nip < o;

les deux racines sont, dans ce cas, imaginaires. Cela posé, voici les propriétés relatives à ces différents cas : Premièrement. — Toutes les fois qu'un trinôme du second degré est tel, qu'en l'égalant à zéro et résolvant l'équation qui en résulte on obtient deux racines réelles et inégales (de signes quelconques), toute quantité (positive ou négative) comprise entre les deux racines, substituée à la place de y dans le trinôme, donne nécessairement un résultat de signe contraire à celui dont le coefficient de y^ est affecté; mais toute ciuantité non comprise entre les deux racines, et différente de chacune d'elles, substituée à la place de y, donne un résultat de même signe rjue le coefficient de y'^.

En effet, soit l'équation

m y''- -i- ?iy -h /? = o,

et, pour fixer les idées, représentons par y' la racine qui se rapproche le plus de Xinfini négatif, c'est-à-dire de la plus petite racine, et par y" l'autre racine.

Cela posé, le premier membre peut (97) se mettre sous la forme "'if — f') (j — j"); ^linsi l'on a l'identité

mf + ny ^ p ^ m (y -y') {y ~y") ;

ce qui signifie (42) que cette égalité doit exister, quelque valeur qu'on donne à y.

Soit maintenant a une quantité comprise entre y' et y", c'est-à-dire telle que l'on ait

ce. > r', mais a < j" ; il en résulte

a— j'>o, mais a— j"<o;

d'oià l'on voit que les facteurs a: — j', a —y" sont de signes contraires : ainsi leur produit [ot. — y'){y. — r") est négatif.

Donc m (« —y') (^ — /" j ou «/«^ -^- na-hp est de signe contraire à celui dont m est affecté.

Soit, au contraire,

* <C jr' el à fortiori a </"; d'où l'on déduit

<^- — y' <.o et « — y" < o.

l64 CDAPITRE III.

Les deux facteurs sont de môme signe; donc (^ — j') (a— j"] est positif, par conséquent

/7î (a— 7') (a — j") ou mu} -^ ny.-^ p

est de môme signe que w.

Même raisonnement pour le cas de a>j'', et à fortiori y.'>y'.

Deuxièmement. — Si les deux racines sont réelles et égales, toute quantité différente de celle qui réduit le trinôme à zéro, substituée duns ce trinôme, donne un résultat de même signe que le coefficient de y.

En effet, puisque les deux racines sont égales, on a la relation

rt' — 4 jnp = 0, d ou 1 on tire v = -r~ ;

dès lors le trinôme my"^ -^ ny + p o\x miy"--". J)' -i- — ) denenl

m r^ H y -h - — - ou m { y h •

y m-' \m' ] \ i-inj

Or il est évident que, pour toute valeur de y autre que 1 la quantité ( ,)■ ~ ) sera positive.

Ainsi, m { y -i ) ou my'^ -}- ny -h p aura le sime de m. c. Q. F. D.

^-^ imj . ., t

Troisièmement. — Enfin, si les deux racines sont imaginaires, toute quantité réelle, p.'sitive ou négative, substituée à la place de y, donnera un résidtat de même signe que le coefficient de y'^.

Car, puisque les deux racines sont imaginaires, on a la relation

«-— 4/«/^<o, d'où ^mp'^n'^.

ou bien (lOu), divisant par 4 '"S

P ^ "' , m -^ b.ni'

Soit donc — = ; -t- k^ i k- désignant une quantité essentiellement

positive); il en résulte

my"- -T- ny -\- p — m\ y- -i y -h - — r -+■ k^\ = m\ y -i | -+- m/',

•^ - r \y m-' 4w^ ) \ 'xm )

APPLICATION DES PROPRIÉTÉS PRÉCÉDENTES. l65

quantité qui restera toujours de même signe que m, quelque valeur réelle que l'on y substitue pour j.

112. La seconde propriété nous conduit naturellement à parler d'une proposition qui est d'un fréquent usage dans l'analyse.

Toutes les fois qiHun trinôme du second degré, my'^ -\- ny -l-/?, est un carré parfait, on a entre ses coefficients la relation

n^ — ^mp — o.

En effet, si ce trinôme est un carré parfait et de la forme [m'y-h n'y, les deux racines de l'équation my"^ -h ny -{- p = o doivent être égales. Or, pour qu'elles soient égales, il faut que la quantité sous le radical, ou n' — i»Jp, soit nulle. c. Q. F. D.

Réciproquement. — Si l'on a entre les coefficients la relation

n^ — ^mp = o,

le trinôme est un carré parfait ; car on déduit de cette relation

P '-^ Tn, 5 ^ ^^ '"^ -i-ny-^p^ my' ^ny-^—- = [y //« + ,

113. Voyons actuellement l'usage de ces propriétés, dans la résolution des questions sur les maximums et minimums.

Soit proposé de déterminer si, lorsqu'on fait varier x^ la fonction

x' — ÏX -H 21

Qx — i4

Posons

d'où

II en résulte

peut passer par tous les états de grandeur.

X^ — IX -h 21

a;^ — 2 ( 3j -1- I ) or = — 21 — 1 4 J.

Pour que x soit réel, il faut que gr' — 8j — 20 soit positif. Or, si l'on égale cette quantité à zéro, il vient

, 8 20 ,, , ^ îo y y = 0, dou y = 2 et y — •

Ces deux valeurs de / étant réelles, il suit de la première des propriétés ci-dessus que, dès qu'on donnera à y des valeurs comprises

entre et 2, telles que — i, o, i, la valeur du trinôme sera négative,

iG6 cnAPiTRE m.

puisque le coefficient de j^ est positif. Mais en donnant à y des valeurs non comprises entre et 2 , comme — 2 , — 3, . . . , 3, 4» • • • 1 on obtiendra un résultat /^o*////.

On voit donc que 2 est, en nombres absolus, le minimum des valeurs que doit recevoir y, pour que x soit réel;, et si, dans l'expression de x ci-dessus, on fait j = 2, le radical disparaît, et l'on trouve j: — 7. ,

En effet , l'expression — — devient , lorsqu'on y pose a: = 7,

La racine y = est en nombres négatifs, le maximum des valeurs

que y peut recevoir; et la valeur de x correspondant à ce maximum est

X = Sx hl — — ^«

N. B. — Lorsque, x étant exprimé en /, le coefficient de j^ sous le radical est négatif, et que les deux valeurs de y^ déduites du trinôme égalé à zéro, sont, l'une positive, l'autre négative, la valeur positive est un maximum, puisque toute valeur plus grande donnerait un résultat de même signe que le coefficient de jr% et, par conséquent, négatif; la valeur négative est un minimum parmi les valeurs négatives que r peut recevoir.

Nous laissons aux élèves le soin d'examiner les autres circonstances qui peuvent se présenter : par exemple, le cas où, le coefficient dej' étant positif, les deux valeurs dejr sont positives; celui où, ce même coefficient étant positif, les deux valeurs sont imaginaires. Ils pourront, d'ailleurs, s'exercer sur les questions suivantes :

1" Partager un nombre donné ia en deux parties , de manière que la somme des quotients qu'on obtient, quand on divise mutuellement res deux parties l'une par l'autre, soit un minimum.

(Rép. Les deux parties doivent être égales, et le minimum est 2.)

2" Soient a et b deux nombres absolus ; on demande pour x une valeur

telle, que l'expression -\ soit un maximum.

Rép. X = r-; et le maximum correspondant est y = , — •

3° Soient a et b deux nombres absolus; on demande pour x une va-

, ,, ,, . (a -+- x) ib -\- x)

leur telle, que l expression ^ ■ soit un mmimum.

PROBLtMES DU SECOND DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES. 167

Rép. On trouve ici deux valeurs, savoir :

a: = - \ ab, à laquelle correspond un nùnimum y = (v'^ -+- \^) j et ar = — \^, à laquelle correspond un maximum y = \\pi — \'^j ,

§ m. — Des équations et problèmes du second degré a deux ou

PLUSIEURS IXCONNUES. — NOUVELLES OPÉRATIONS SUR LES RADICAU'X DU SECOND DEGRÉ, RÉELS OU niAGINAIRES.

id4. Nous ne pouvons donner ici une théorie complète; car nous ferons voir bientôt que la résolution de deux équations du second degré, à deux inconnues, dépend, en général, de la résolution d'une équation du quatrième degré à une seule inconnue ; mais nous allons nous proposer quelques questions qui ne dépendent, en dernière analyse, que de la résolution d'une équation du second degré à une inconnue.

Premier problème. — Trouver deux nombres tels, que la somme de leurs produits par les nombres respectifs a et b soit égale à %s et que leur produit snit égal à p.

Soient x et y les deux nombres cherchés ; on a les équations

ax -.- bj = 2i-, xy — p.

De la première, on tire

is — ax ^'='—b—'^

d'où, substituant dans la seconde et réduisant,

ox^ — 2SX = — bp.

Donc

- abp , et, par conséquent, y= - zzij \/j' — abp.

X ~ - -L - v'.> — ""!''•) ^"1 r"i v^uii^v^^iivi.^, -^ ~ h~^ h

Comme a, b,p sont supposés ici des nombres absolus, le problème est susceptible de deux solutions directes, car s est évidemment > \^s^ — abp. Mais, pour qu'elles soient réelles, on doit avoir s^ > ou = abp. Soit « = è = I ; les valeurs de x et de y se réduisent à

X ~ s ± y V- — /> et y = s ^ \'s- — p. D'où l'on voit que les deux valeurs de y sont égales à celles de prises

l68 CHAPITRE III.

dans un ordre inverse; ce qui veut dire que, si j -4- y/^' — p représcnle la valeur de a:, s — y/.»-^ — p repr(''scnte la valeur correspondante de j, et réciproquement.

On interprète cette circonstance en observant que les équations se réduisent, dans ce cas particulier, l\ x -^ y = is ^ xy — p ; et alors la question revient à trouver deux nombres dont la somme soit is et dont le produit soit /?; ou, en d'autres termes, à partager un nombre 2 s en deux parties dont le produit soit égal h un nombre donné p.

Or on a vu (100) que les deux parties sont nécessairement liées entre elles par une même équation du second degré

qui o, pour coefficient du second terme , la somme "xs prise en signe contraire, et pour dernier terme le produit p des deux parties.

415. Second problème. — Trouver quatre nombres en proportion géométrique, connaissant la somme is des extrêmes, la somme is' des moyens et la somme ^c^ des carrés.

Désignons par u, x, y, z. les quatre termes de la proportion; on a. pour les quatre équations du problème , en vertu des données de la propriété fondamentale des proportions,

u-+-z=2s, x~hy=2s', uz~xy, «'-t- a;'-)- J''-^- z'— 4c'.

Au premier abord, il peut paraître difficile de trouver les valeurs des inconnues; mais, à l'aide d'une inconnue auxiliaire, on parvient à les déterminer simplement.

En effet, soit p le produit inconnu des extrêmes ou des moyens, on a :

1° Les équations u-i- z = 2.s, uz = p, qui donnent

{voir le problème précédent); 2° Les équations x -hy= is', xy = /?, qui donnent

On voit donc déjà que la détermination des quatre inconnues ne dépend plus que de celle du produit /j.

Or, si l'on substitue ces valeurs de u, x,y, s, dans la dernière des équations du problème, il vient

[s H- \/s'' — pY + [s — \/s' — p)* + (/+ ^/7^>y- -^- {s'- )/s"~py= 4c\

PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES. \6ç)

OU, développant et faisant les réductions,

4^M- 4*'^— 4/^ = 4c'; donc p — s^ -+- s" — c^.

Reportant cette valeur de p dans les expressions de a,a:,r, z, on trouve enfin

Ces quatre nombres constituent évidemment une proportion; car on a

uz =--[s-^ t/?^"7^) {s — ^Jc-' — s'-) = .v= —à-r- s'\ xy-- (j'-i- /c' — s'^) [s— yjc^ — S-) = i'^ ~ c^ - s"^.

N. B. — Ce problème , que nous avons extrait de V Algèbre de M. Lhuilier, est propre à faire voir combien l'introduction d'une inconnue auxiliaire dans un calcul peut faciliter la détermination' des inconnues principales. On trouve, dans l'Ouvrage que nous venons de citer, d'autres problèmes du même genre qui conduisent à des équatiors d'un degré supérieur au second, et que, néanmoins, on peut résoudre à l'aide des équations du premier et du second degré , en introduisent des inconnues auxiliaires.

H6. Considérons maintenant le cas où un problème donnerait lieu à deux équations quelconques du second degré à deux inconnues.

Une équation à deux inconnues est dite du second degré lorsque, étant mise sous forme entière, elle renferme des termes dans lesquels la somme des exposants des deux inconnues est égale à 2, et que, dans aucun terme, cette somme ne surpasse pas a (*).

Ainsi

"ix^ — ^x -f-jr' — -vy — S^x + 6 — o, yxy — ^x -^ y = o

sont des équations du second degré.

Il suit de là que toute équation du second degré à deux inconnues est de la forme

ay^ -T- bxy -^ c x'' -i- dy -h fx -i- g = o

(n,b,c,,.. représentant des quantités connues, soit numériques, soit algébriques).

(*) Il suffit, au surplus, si l'équation a des dénominateurs, que jc et j n'entrent pas dans ces dénominateurs. ÇFoir la remarque du n° 92.)

170 CUAPITIIE III.

Soient donc proposées les équations

ay^ -+- bxy ■+- ex'' -+- dy -\- fx -h g = o, fi'y--^ b'xy -(- c' x'^ -1- d'y -1- f'x -\- g' — o.

On peut ordonner ces deux équations par rapport à ^ ; et il vient ex'' -t- [by H-/ ) X -^ ay^ -\- dy -^ g = o, c'x^ -h [b'y -i-f') X -f- r/j-^-i- d'y -h g' = o.

Cela posé, si les deux coefficients de x- étaient les mômes dans les deux équations, on obtiendrait, en retrancliant ces deux équations l'une de l'autre, une équation du premier degré en x qui pourrait être substituée à l'une des équations proposées; de cette équation l'on tirerait la valeur de x en y, et, reportant cette valeur dans une des équations proposées, en parviendrait à une équation qui ne renfermerait plus que l'inconnue y.

Or, si l'on multiplie la première équation par c' et la seconde par c, il vient

ee'x- -^ [by H-/ ) c'x-h [ay" -;- dy -f- g j c'= o, ce'x" -h [b'y-i-f }cx -i- [o'y" -h d'y-r- g')c — o,

équations qui peuvent remplacer les précédentes, et dans lesquelles le coefficient de x'' est le même.

En soustrayant la seconde de la première, on trouve

[{bc'— cb')y-i-fc'— cf''\x-i~[ac' — c<-/'] r"-i- [de' — cd')y-\- gc'~eg'~ o,

équation qui donne

[ca' — ac')y'-+- \cd' — de')y-^ ^s' — .?<"' [bc' — rb' ) y -h Je' — ef '

Cette expression de x, substituée dans l'une des équations proposées, donnerait une équation finale en r.

Mais, sans etTectuer cette substitution, qui conduirait à un résultat assez compliqué, il est facile de reconnaître que l'équation en y doit être, en général, du quatrième degré, car le numérateur de l'expression de j: étant de la forme my'^ -f- ny -f- p^ son carré, ou l'expression de x% est du quatrième degré; or ce carré forme l'une des parties du résultat de la substitution.

Donc, en général, la résolution de deux équations du second degré à deux inconnues dépend de celle d'une équation du cjuatriènie degré à une seule inconnue.

\\1. II est une classe d'équations du quatrième degré dont on peut ramener la résolution à celle des équations du second degré : ce sont les

ÉQUATIONS TRINÔMES DU QUATRIÈME CEGRÉ. I7I

équations de la forme

X* -^ px^—- fj = o.

On les appelle équations trinômes ou bicarrées , parce qu'elles ne contiennent que trois espèces de termes : des termes en x\ des termes en x-, et des termes tout connus.

Pour résoudre cette équation, posons a:- = j; elle devient

d'où l'on tire

Mais l'équation x^ = y donne

^z^V^r; donc x^-±z\J -

x~±z\jr\ donc x — -±z\i—'~±y'—-

On reconnaît, par le fait môme de la résolution de l'équation, qii^ l'inconnue a quatre valeurs, puisque chacun des signes -t- et — qui affectent le premier radical peut être successivement combiné avec chacun des deux signes qui affectent le second ; mais ces valeurs sont égales et de signes contraires deux à deux.

Soil, par exemple, l'équation

si l'on pose x' = j; il vient

j'^ — i5r ■-- — 144, d'où l'on tire r = 16. j)- = 9.

Substituant ces valeurs dans l'équation x- -y, on obtient

i°j:^=ri6, d'où a- " r:r 4 ; 2"x-: 9, d'où X=:-o.

Ainsi, les quatre valeurs sont -i- 4, ~ 4) -- 3 et — 3. soit encore l'équation

x' — yx'^ 8.

Posons x'^ = y, l'équation devient

j' — 7J=8, d'où y =8, et y=—i.

Donc :

1° X- = 8, et X = ±: 0. \f'x ;

2 X- -~ — T , et j: = — V ~ J

les deux dernières valeurs de x sont imaginaires.

172 CBAPITHE III.

Soit l'équation algébrique

x* — (iùc-i- 4rt')a:' = - b^c\ Posons jt' — j; l'équation devient

j'^ — {2.bc~h ^à-)y ^^ — Pc'^\ d'où l'on déduit

y = bc -h ^a^± la \l bc ■+- (i\ et, par conséquent,

X — ±i \bc -(- art'dr 2fir \Jbc-^c^.

118. La résolution de l'équation trinôme du quatrième degré donne naissance à une nouvelle espèce d'opération , savoir : V extraction de la racine cariée cViine quantité de la forme A rt y'B , A et B désignant des quantités commensurables de signes quelconques.

Soit d'abord à former le carré de l'expression 3 rh y/5.

On a (19)

(3 ± v/5)' = 9dz6v/5 + 5-=i4=h6v/5; donc, réciproquement,

v/i4— 6v/5=: 3rbv/5.

De même,

{\^ - sf^^Y -■=-' 7^2v/77-^iï = 18 ri: 2/77; donc, réciproquement,

v'iSrt 2V/77 — \fî — /ï^-

D'où l'on voit qu'une expression telle que y A ± v^B peut quelquefois être ramenée à la forme A' ± v^B' , ou /Â' ± v/B* ; et lorsque cette transformation est possible, il est important de l'effectuer, puisqu'on n'a plus qu'une ou deux racines carrées simples à extraire, tandis que l'expression

y A ± \/B exige qu'on extraie une racine carrée de racine carrée.

Nous nous proposerons donc cette question :

Une quantité de la forme A -1- v/B étant doiinée (il est inutile de considérer ici le double signe — , parce qu'il est implicitement renfermé dans l'indice du radical yj~\ reconnaître si elle est le carré d'une autre quantité de la forme A' +{/¥', ou /Â? -r- \/B', A, B, A', B" étant rationnels; et déterminer cette dernière quantité lorsqu'elle existe.

Cette recherche est fondée sur un principe qui trouvera, par la suite,

TRAÎS-SFOKMATIO.V LE l'eXPUESSIO' \/A H- s/B. I'j3

de fréquentes applications : c'est que, toutes les fois que l'on a une égalité de la forme

m, m', /i, ri étant rationnels, on doit avoir séparément

m = nî et \fn = \'~n' .

En effet on déduit, de l'égalité hypothétique,

V « = m — m -)- \Jn ,

d'où élevant au carré,

n ~ (m' — m)--i- ri -i- o.[m'— m) \Jri ^

n — ri — [ni' — nif = iliri — m) ^Jri .

Or le premier membre de cette dernière égalité est u"n nombre coramensurable : donc il doit en être de même du second ; mais \fn' étant, par hypothèse, incommensurable, 2 [m' — m) yfn' est aussi incommensurable. Ainsi, pour que l'égalité subsiste, il faut que cette irrationnelle disparaisse, ce qui exige que l'on ait

m' — w = o, d'où m' ^ m^

et, par conséquent,

\/n — /«', ou n ~ ri . c. Q. F. D.

Cela posé, désignons par p Qi q les deux parties dont se compose la racine carrée de A h- y/B lorsqu'elle existe; petrj sont alors deux monômes irrationnels, ou bien, l'un une quantité rationnelle , l'autre un monôme irrationnel du second degré, en sorte que p' et </* sont nécessairement rationnels. On a l'équation

d'où, élevant au carré,

p^-^ rf-h ipq = A-t- v/B.

Le second membre de cette dernière équation étant irrationnel, il doit en être de même du premier. Donc, en vertu du principe démontré ci-dessus, l'équation précédente se partage dans ces deux-ci :

(3) ipq^^jB.

On pourrait tirer de l'équation (3) la valeur de 7 et la substituer dans l'équation (2), ce qui conduirait à une équation trinôme du quatrième degré en p qu'on résoudrait facilement, et l'on parviendrait ainsi aux valeurs de p et do q. Mais il est plus simple d'opérer de la manière suivante :

Retranchons (3) de (2) membre à membre; il vient

[p qY = A — /B, d'où p-q= Va — \/B, équation qui, combinée avec (i) par voie de multiplication, donne p'' — q-= ./A^ - B.

Ce résultat nous apprend déjà que p^ — q- est rationnel , puisque />' et 7' le sont séparément. Par conséquent, A -r- y/B ne peut être le carré d'une expression de la forme indiquée par l'énoncé de la question, qu'autant que la quantité A* — B est elle-même un carré parfait. Tel est le caractère auquel on reconnaît la possibilité de la sinipltjication proposée.

A= — B devant être un carré parfait , désignons par G la valeur numérique de sa racine ; il vient

Actuellement, si l'on combine les équations (2) et (4) par addition et soustraction, on obtient successivement

/.^=-^-, dou p = ±^---,

d'où

ce qui donne enfin, pour la racine demandée,

On s'est dispensé ici de tenir compte du signe inférieur de G dans l'expression de la somme p -h q, parce qu'il est évident qu'il donnerait la même valeur. Mais il n'en est pas de même du double signe dont chacune des valeurs de p et de q doit être précédée. La combinaison des deux doubles signes ± donne lieu à quatre valeurs représentant celles que

comporte en elle-même l'expression \/X-+-)/B, qui, lorsqu'on met les

signes en évidence, revient à ±z y A =b /B; en sorte que la véritable for-

TRANSFORMATION DE l'eXPRESSION yA 4" ^B. 175

mule à établir pour les applications est celle-ci :

^'^^^nv/^^^^)^

et les signes qu'il convient de combiner entre eux dans les deux membres pour avoir une égalité exacte sont déterminés par l'équation (3), qui indique que p et q doivent être de tnéme signe ou de signes contraires, suivant que \/B est affecté du signe + ou du signe — ; ce qui fait que les signes du même rang, dans les deux membres, se correspondent entre eux.

110. Appliquons cette formule à quelques exemples. Soit, en premier lieu, l'expression numérique

g4 ± 4'^ \/^ ou 94 ± \/882o ; on a

A =94, B = 8820, d'où

A^ — B = 8836 — 8820 = 16. carré parfait; donc 0 = 4;

et, par suite,

Ainsi

ou, plus clairement.

Soit, en second lieu, l'expression algébrique obtenue à la fm du n° 117, savoir :

On a d'où et

■r = ± \jbc -f- 7.(1^ ±ia \Jbc -H a^,

X= bc -^- "ia-, B = 4«^^c -H 4«'';

A' — B = b'^c'^, carré parfait; donc C = bc,

= ±^^'-^''f-^^' = ±^Fc

176 CnAPITRB III.

Ainsi

\bc ■+■ "xd^r^i la yjbc -j- a' = ± \Jbc -h a' ±: a,

ou plutôt

\hc -I- 2fl* -+- la \/bc -f- «' = y/éc -f- à^ -1- « ,

\bc H- aa' — aa \Jbc -+- a' = y/éc -t- a' — a. On trouvera pareillement

y 3 -}- v/5 = - \/Tô -i — v^, v^ — /5 = -v/io — v^;

VZt -t- ai v^ic — è' -f- yir — aè yjbc — 6- =: a y/^^ — i% ou 26, suivant que l'on a c > ou <C'i.h\

yiô -H 3o v/— I -^ V16 — 3o y/ — I = lo,

120. L'exr.ctitude de la formule (5) peut être vérifiée à posteriori. En effet, élevons les deux membres au carré ; il vient

ou, observant que C = A' — B donne B = A' — C,

On voit donc que, lors même que A' — B n'est pas un carré parfait, on

peut encore remplacer l'expression y A ± y/B par le second membre de la formule (5); mais alors on serait loin d'avoir simplifié l'expression proposée, puisque chacune des quantités p et «7, prises séparément, est de même forme que cette expression.

121. C'est surtout par rapport aux expressions imaginaires de la forme ^a ±b sj—i , que l'emploi de la formule (5) est avantageux.