TRANSFORMATIONS DES EXPRESSIONS DES IMAGINAIRES, ETC

Déjà les derniers exemples du n° 149 prouvent que, dans le cas où la condition que A^ — B soit un carré parfait est satisfaite, ces sortes d'expressions peuvent être ramenées à la forme

a' et b' étant les quantités réelles, commensurables ou incommensurables. Or je dis que cela a lieu lors même que A' — B n'est pas un carré parfait. En effet, si l'on applique la formule (5) à l'expression

\/a ■+- b\/—i, on a

A = a, B = — b'] d'où k' — B ^ a' + b\ et

ou, posant pour plus de simplicité, c = \/a^-+- 6% quantité généralement irrationnelle, mais nécessairement réelle, positire, et plas grande que a,

donc

la -\- c la — c je — a ,

On obtiendra pareillement

Or les quantités 4 / -' f / sont essentiellement réelles, quels

que soient a et b, puisque c ou \/a' -^ b^ est numériquement plus grand que a.

Donc, enfin, toute expression de la forme

peut être ramenée à la forme ordinaire des imaginaires du second degré, a' ± b' v/— I , «' et b' étant quantités réelles quelconques.

Faisons ressortir par un nouvel exemple l'utilité de ces sortes de transformations.

Als. B. 12.