ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ
Introdiutiori. — Lorsque l'énoncé d'un problème fournit moins d'équations qu'il n'y a d'inconnues, le problème est dit indéterminé, en ce sens que (S5) ses équations peuvent être satisfaites par une infinité de systèmes de valeurs attribuées aux inconnues. Mais il arrive souvent que la nature de la question exige que les valeurs des inconnues soient exprimées en nombres entiers; dans ce cas, l'une des inconnues, à laquelle on pouvait d'abord donner une valeur tout à fait arbitraire, ne doit plus recevoir que des valeurs entières et telles, que la valeur correspondante de l'autre inconnue ou de chacune des autres inconnues soit aussi exprimée en nombres entiers. Or celte condition restreint beaucoup le nombre des solutions, surtout si l'on ne veut tenir compte que des solutions directes, c'est-à-dire des solutions pour lesquelles les valeurs de toutes les inconnues sont positives en même temps qu'entières.
L'objet de /'ANALYSE indéterminée DU PREMIER DEGRÉ est de résoudre en nombres entiers les questions qui conduisent à un nombre d'équations du premier degré, moindre que celui des inconnues.
§ F''. — ÉQUATIONS ET PROBLÈMES INDÉTERMINÉS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX INCONNUES.
122. Toute équation du premier degré à deux inconnues peut {G7) être ramenée à la forme
a X - ;- by =z c ;
w, b, c désignant des nombres entiers, positifs ou négatifs.
Cela posé, remarquons d'abord que, si les coefficients a et b ont un facteur h commun qui ne divise pas le second membre c, l 'équation ne peut être satisfaite par des nombres entiers.
Car soit a — ma\ b ~ mb' \ l'équation devient
mn' X -^ mb'y ~ c\ d'oii a'x-hb'y=—'. j 1 ■' nr
et celle-ci ne peut être satisfaite par aucun système de valeurs entières de x et de y, tant que c n'est pas divisible par m.
l8o CDAPITRE IV.
Ainsi, pour que l'équation soit possible en nombres entiers, il faut que les coefOcienls a et i soient ijrcmiers entre lux, à moins que, s'ils ont un facteur commun, ce facteur ne divise en même temps r, auquel cas on pourrait le supprimer.
Cette condition est d'ailleurs suffisante, ainsi que nous le déniontrerons au n" iSo, première remarque.
Nous supposerons donc, dans tout ce qui va suivre, que a ei-b soient premiers entre eux.
■123. Pour plus de clarté, nous traiterons d'abord des équations particulières, et nous généraliserons ensuite.
Première question. — Partager i5g en deux nombres entiers dont l'un soit divisible par 8 et l'autre par i3.
Désignons par x et y les quotients respectifs de la division des deux nombres cherchés par 8 et par i3; il est clair que 8x et i3j expriment ces deux parties ; et l'on a l'équation
qui, d'après l'énoncé, doit être résolue en nombres entiers et positifs pour X et pour y.
On déduit d'abord de cette équation
ou, effectuant la division,
Observons maintenant que la valeur de x sera entière si l'on donne à y
une valeur entière telle, que - — —-^ soit un nombre entier. D'ailleurs,
cette condition est nécessaire ; ainsi il faut et il suffit que - — ^-^ soit
égal à un nombre entier quelconque. Soit t ce nombre entier {t est dit une indéterminée) ; il en résulte
(2) ^~ ^= t, d'où 57-^8f = 7,
et la valeur de x devient
■^ = 19—7-+-'- Toute valeur entière de t, qui, substituée dans l'équation (2), en don-
ANALYSE INDÉTERMINÉE. PREMIÈRE MÉTHODE. lOI
7 — 5 v nera une semblable pour y, satisfera à la condition que - — ^— ^ soit
entier; ainsi , les deux valeurs de x et de y correspondantes seront entières et satisferont d'ailleurs (6G) à l'équation proposée, qui résulte évidemment de l'élimination de t entre les deux équations
La question est donc ramenée à résoudre en nombres entiers l'équation (2), dont les coefficients sont plus simples que ceux de l'équation (i). On tire de l'équation (2)
ou, effectuant la division,
1 — Zt
Toute valeur entière de t qui rendra i — Zt un multiple de 5 donnera aussi pour y un nombre entier, et sera, par conséquent, convenable; d'ailleurs, la condition que 2 — 3? soit un multiple de 5 est nécessaire.
Ainsi il faut poser — : — = t' {if étant une seconde indéterminée); ce
qui donne
et la valeur de y se réduit à j = i — / -t- z'.
[L'équation (2) résulte d'ailleurs de l'élimination de t' entre ces deux dernières.]
La question est encore ramenée à résoudre en nombres entiers l'équation (3), de laquelle on tire
Posons — r — = ?"; il en résulte
et, par conséquent,
De l'équation (4) on déduit
ib
CIIAI'ITIÎE
posant ' = t , on
en
lire
l' Il
et,
par coiiïéquent,
Comme dans l'équation (5) le coefiicient de t" est (''gai à \ unité, il s'ensuit que toute valeur entière attribuée à t'" en donnera une sen;blable pour i" . D'ailleurs, les deux inconnues principales x et y, et les indéterminées /, ^, t" et t'" sont liées entre elles par les cinq équations
Ainsi, en donnant à t'" une valeur entière quelconque, et remontant de la dernière de ces équations aux deux premières, on obtiendra pour x et j des valeurs entières correspondantes qui vérifieront nécessairement l'équation proposée; car, d'après les raisonnem.ents qui ont été faits plus haut, cette équation résulte de l'élimination de /, t\ t\ t'" entre les cinq équations que l'on vient d'établir.
Mais, afin de n'attribuer à t'" que des valeurs auxquelles correspondent i des valeurs entières et positives pour x et r, il convient d'exprimer ^ et ^ enfonitio/i inunédiate (108) de l'indéterminée t"', à l'aide des cinq équations ci-dessus.
Or l'expression de /' devient, lorsqu'on remplace t" par sa valeur on i'".
t' — \ — it"' — t"\ ou t'=-^i — Zc'"\ remontant à l'expression de
i, t -^ — t'-^ t" =^ — i -^Zt"'-^it"'\ ou réduisant
On trouvera de même
j=i — ;-i^5/"') -.-I— 3^'", d'où j=3-8r.
Enfin,
.r--i9 — (3 — 8/'") -H '— 1 -^ 5^'";, ou j; = i5 -t- i3/"'.
11 est facile de vérifier que ces deux dernières équations reproduisent l'équation proposée par l'élimination de /'". En effet, si l'on multiplie la première équation par i3, la seconde par 8, et qu'on ajoute les résultats, il vient
i3 ) -t- S.r — iSg.
4KALYSE INDÉTERMINÉE. PREMIÈRE MÉTHODE. l83
Faisons successivement t"' = o, i, 2, 3,..., ou bien t'" = — i, —2, — 3,. . .; les formules précédentes donneront toutes les valeurs de x et de y en nombres entiers, soit positifs, soit négatifs, propres à vérifier la proposée; mais si, comme l'exige l'énoncé, on ne doit tenir compte que des solutions entières et positives, t'" ne peut recevoir que des valeurs qui rendent 3 — 'et'" et i5 -r i3/"' positifs. Or il n'y a évidemment que i"'=oet t"'= — I qui satisfassent à cette condition : car toute valeur positive de f'" rend r négatif, et toute valeur négative, numéiuiuement plus grande que i , rend x négatif.
Si l'en fait successivement f'"-- o, t'" — — 1, il en résulte
j>' = 3, x = 1 5 ; puis ;>' — 1 1 , x = 2. Donc
x — \b et j— 3, j: -- 2 et y=\\^
sont les seuls couples de nombres positifs qui vérifient l'crfnation
%x -r- 13/ == iSg.
Quant à la question dont cette équation est la traduction algébrique, puisque 8x et i3/ représentent les deux parties cherchées, il s'ensuit que 8 X i5 ou 120, et i3 x 3 ou 39, forment une première solution; que 8 X 2 ou 16, et i3 x 11 ou i43, forment une seconde solution ; c'està-dire que 139 peut être partagé, soit en 120-4-39, soit en 16 h- 1 43.
i2-i. Soit, pour second exemple, l'équatiun
On en déduit d'abord
Pour qu'à une valeur entière de y il corresponde une valeur entière
de X, il faut et il suffit que i5j — 8 soit un multiple de 17. Soit
Qonc — ■ — t, t étant une indetermmée; il en résulte
et
X = If -^ t.
[L'élimination de t entre ces deux équations reproduirait l'équation (1).]
l84 CnAPITRE IV.
On déduit de l'équation (2)
8-f-i7f 8 + it ^ ~ \b ~ i5 '
et la nouvelle expression ^ — doit ôlrc un nombre entier (c'est d'ailleurs
une condition suffisante).
Posant z — = t'. en obtient
et, par conséquent,
L'équation (3) donne
t = = yt'— 4 -t- -î
et si l'on pose
-=f", d'où ('=0.1",
on trouve
t= yt'— 4-t-r.
Maintenant, pour exprimer x et jr en fonction de l'indéterminée t", rapprochons les quatre équations
j7 = 2j-t-/, j=r-f-;', t = yt'— /i -+- t", t'=it",
et remontons de la dernière aux précédentes. On a d'abord
/ = 7 2^"— 4 + f"', ou / = i5/"— 4,
remontant à la seconde,
y = i5t" — 4 -+- 2'", ou ^=17^"— 4;
puis, à la première,
ar= 2(17^"— 4) H- i5i"— 4, ou bien x = 4ç)t" — 12.
Les deux formules .r = 49^"— 12, j = 17^"— 4 reproduisent l'équation proposée par l'élimination de /"; car, si l'on multiplie la première par 17, la seconde par 49, et qu'on retranche les deux résultats l'un de l'autre, il vient
ANALYSE INDÉTERMINÉE. PREMIÈRE MÉTHODE. l85
On voit d'ailleurs qu'en donnant à t" des valeurs positives quelconques, on obtiendra pour x et y des valeurs positives ; mais on ne peut supposer t" négatif.
Soit f — I, 2, 3, 4, • • • ; on trouve
Le nombre des sj'Stèmes de solutions entières et positives de l'équation proposée est donc infini ; et le plus petit système est
■^ = 37, jr=i3.
Ce couple de valeurs vérifie Féquation, car on a
Nous nous sommes dispensé, dans cet exemple, de reprendre tous les raisonnements qui avaient été faits dans le premier, pour rendre compte de toutes les opérations ; mais il est facile aux commençants de les reproduire, en suivant pas à pas les transformations.
iTà. On peut résumer ainsi la méthode précédente. Soit
(i) ax -i- by =-- c
l'équation qu'il s'agit de résoudre. Tirez de cette équation la valeur de l'inconnue qui a le plus petit coefficient , de x par exemple, et effectuez la division autant que possible; vous obtenez une expression de x en j, composée d'une partie entière et d'une partie de forme fractionnaire qu'il faut tâcher de rendre entière. Egalez cette seconde partie à une première indéterminée t ; il en résulte une nouvelle équation en y et t, que Ion peut nommer l'équation (2), et dont les coefficients sont plus simples que ceux de l'équation (i). La valeur de x se trouve d'ailleurs exprimée en fonction entière de y et f , et Véquation proposée résulte de l'élimination de t entre l'équation (2) et l'équation qui donne la valeur de x en y et t.
Tirez de l'équation [%) la valeur de y, et effectuez la division autant que possible. Egalez la partie fractionnaire a une seconde indéterminée t' \ d'où il résulte une équation (3) en t et t', plus simple que les équations ( i ) e? { 2 ) . La valeur de y se trouve ainsi exprimée en fonction entière de t et t' \ et la proposée résulte de l'élimination de t et t' entre l'équation ( 3 ) ef les deux écjuaiions qiii donnent x en fonction entière de y et de t, puis y en fonction entière de t et t'.
Opérez sur l'équation (3) comme sur les équations (1) et (2), et continuez celte série d'opérations Jusqu'à ce qu'enfin vous parveniez à une
i86 ciiAPrritiî lY.
dcnncrc cquatinn entre deux hidcterniinccs dont F une ait pour coefficient /'unil6.
Remontez ensuite de cette dernicre équution aux précédentes, et cherchez, par des substitutions successives, à exprimer x et y en fonction de la dernière indéternnnée.
Vous obtenez ainsi doux formules à l'aide' desquelles, en donnante rindétermini'e restante ries valeurs entières quelconqi^es, vous trouvez tous les systèmes de valeurs entières , tant positives que négatives, propres à vérifier l'équation ax -i- by = c.
Si l'on ne veut que des valeurs entières et positives pour x et r, les deux formules indiquent , par leur composition , entre quelles limites doivent être comprises les valeurs de la dernière indéternnnée, pour que cette condition soit remplie.
Première remarque. — Le procédé qui vient d'êire indiqué doit toujours conduire à une dernière équation dans laquelle le cceCicient d'une des indéterminées est égal à Vanité.
En effet, dans la première opération , on est amené à diviser le plus grand coefficient des deux inconnues par le plus petit ; dans la seconde, le plus petit coefficient par le reste de leur division; dans la troisième, le premier reste par le second reste, et ainsi de suite, c'est-à-dire que l'on applique aux deux coefficients le procédé du plus grand commun diviseur. Donc, puisque , par hypothèse, les devx coefficients sont premiers entre eux (122), on parviendra facilement à un reste égal à i, qui servira de coefficient à l'avant-dernière des indéterminées introduites dans le cours du calcul.
On peut conclure de là que l'équation ax -h by = c admet toujours un nombre infni de solutions entières (positives ou négatives) tant que /7 et Z» sont premiers entre eux.
Seconde remarque. — Lorsqu'on applique le procédé à une équation dans laquelle les coefficients des deux inconnues admettent un facteur commun qui ne se trouve pas dans le second membre ( auquel cas l'équation est impossible en nombres entiers), la suite des calculs fait reconnaître cette impossibilité, si on ne l'avait pas aperçue d'abord.
Soit, par exemple, l'cquatiua
49a:— 35j = II.
(Le facteur 7 est commun aux coefficients de x et de j, et n'entre pas dans le second membre.) On en déduit
49 X — II i4r — 1 1
ANALYSE INDÉTEKMINÉE. PREMIÈRE MÉTHODE. iS']
Posant
lAx ~ Il ,, ,
^ /, d ou y = X -i- t,
Posant
on trouve
- — --" — c, d ou X = -it -h t\
Cette dernière équation est évidemment impossible en nombres entiers
pour t et t', puisque - est essentiellement une fraction. Donc aussi la
proposée est impossible en nombres entiers pour x et y.
ZV. B. — Le dénominateur 7 de la fraction à laquelle on parvient est précisément le facteur commun aux deux coefficients de la proposée; ce qui résulte nécessairement de la nature de la méthode employée.
128. Au reste , le procédé ci-dessus est susceptible de plusieurs simplifications qu'il est important d'introduire dans la pratique. Reprenons l'équation déjà traitée
lyx— 49 y ^ — 8;
on en déduit d'abord
Observons actuellement que 49 est égal à 17 .< 2 -t- 15, ou bien encore, égal à 17 ; . 3 — 2; donc
ainsi la valeur de x prend la forme
et la question est ramenée à trouver, pour r, un nombre entier qui rende
,, . ar-i- 8 ^ ,^ . ^ , 2( r-H 4) entière 1 expression -^ Or cette expression revient a -^=^ ;
mais les deux nombres 17 et 2 sont premiers entre eux. Ainsi, pour
l88 CHAPITRE IV.
que — — soit entier, // faut et il suffit [Jril/imétiqiic, 29* édition (128)]
que j H- 4 soit divisible par 17.
Posons donc ^ = t.t étant un nombre entier tout à fait arbitraire,
il en résulte
et la valeur de x devient
